Definición de Factorización
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias
La factorización es un conjunto de estrategias en función de poder expresar una expresión algebraica como producto de dos o más factores, y dependiendo del caso, será necesario combinar más de una de estas estrategias, entre las cuales se reconocen como principales: 1) Identificar factores comunes. 2) Identificar trinomios al cuadrado perfecto. 3) Identificar diferencia de dos cuadrados. 4) Identificar trinomios factorizables como producto de dos binomios. 5) Identificar diversos productos notables tales como: binomios al cubo, diferencia de cubos. 6) Agrupación de factores comunes. 7) Identificar factores comunes.
Ejemplos prácticos 1
| Expresión algebraica | Factor común | Factorización | Procesos intermedios |
|---|---|---|---|
| \(6{x^3} + 15{x^2}\) | \(3{x^2}\) | \(3{x^2}\left( {2x + 5} \right)\) | \(\frac{{6{x^3}}}{{3{x^2}}} = 2x\) \(\frac{{15{x^2}}}{{3{x^2}}} = 5\) |
| \(21x{y^3} – 28{x^2}{y^4} + 14{x^3}{y^2}\) | \(7x{y^2}\) | \(7x{y^2}\left( {3y – 4x{y^2} + 2{x^2}} \right)\) | \(\frac{{28{x^2}{y^4}}}{{7x{y^2}}} = 4x{y^2}\) \(\frac{{14{x^3}{y^2}}}{{7x{y^2}}} = 2{x^2}\) |
De lo anterior tenemos las siguientes igualdades:
\(6{x^3} + 15{x^2} = 3{x^2}\left( {2x + 5} \right)\)
\(21x{y^3} – 28{x^2}{y^4} + 14{x^3}{y^2} = 7x{y^2}\left( {3y – 4x{y^2} + 2{x^2}} \right)\)
2. Identificar trinomios cuadrados perfectos
A partir de los productos notables:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\)
Podemos identificar trinomios al cuadrado perfecto
Ejemplos prácticos 2
Para factorizar un trinomio al cuadrado perfecto podemos realizar un esquema como apoyo.
Factorización de \({x^4} + 6{x^2} + 9\)
| \({x^4}\) | \(6{x^2}\) | \(9\) |
| \(\sqrt {{x^4}} = {x^2}\) | \(\sqrt 9 = 3\) | |
| \(2\left( {{x^2}} \right)\left( 3 \right) = 6{x^2}\) |
Tenemos un trinomio cuadrado perfecto
\({x^4} + 6{x^2} + 9\; = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2}\)
Factorización de \({x^6} – 4{x^3}y + 4{y^2}\)
| \({x^6}\) | \(4{x^3}y\) | \(4{y^2}\) |
| \(\sqrt {{x^6}} = {x^3}\) | \(\sqrt {4{y^2}} = 2y\) | |
| \(2\left( {{x^3}} \right)\left( {2y} \right) = 4{x^3}y\) |
Tenemos un trinomio cuadrado perfecto
\({x^6} – 4{x^3}y + 4{y^2} = {\left( {{x^3} – 2y} \right)^2}\)
Factorización de \({x^2} + 13x + 36\)
Factorización de \({x^4} + 6{x^2} + 9\)
| \({x^2}\) | \(13x\) | \(36\) |
| \(\sqrt {{x^2}} = x\) | \(\sqrt {36} = 6\) | |
| \(2\left( x \right)\left( 6 \right) = 12x\) |
No tenemos un trinomio cuadrado perfecto.
\(12x \ne 13x\)
Factorización de \(25{x^2} + 40x + 16\)
| \(25{x^2}\) | \(40x\) | \(16\) |
| \(\sqrt {25{x^2}} = 5x\) | \(\sqrt {16} = 4\) | |
| \(2\left( {5x} \right)\left( 4 \right) = 40x\) |
Tenemos un trinomio cuadrado perfecto
\(25{x^2} + 40x + 16 = {\left( {5x + 4} \right)^2}\)
4. Identificar diferencia de cuadrados
A partir del producto notable:
\(\left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right) = {a^2} – {b^2}\)
Podemos factorizar diferencias de cuadrados
Ejemplos prácticos 3
Para factorizar una diferencia de cuadrados podemos realizar un esquema de apoyo.
Factorización de \(49{x^2} – 4\)
| \(49{x^2}\) | 4 |
| \(\sqrt {49{x^2}} = 7x\) | \(\sqrt 4 = 2\) |
\(49{x^2} – 4 = \left( {7x + 2} \right)\left( {7x – 2} \right)\)
Factorización de \({\left( {x + 2} \right)^2} – 64{y^8}\)
| \({\left( {x + 2} \right)^2}\) | \(64{y^8}\) |
| \(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = x + 2\) | \(\sqrt {64{y^8}} = 8{y^4}\) |
\({\left( {x + 2} \right)^2} – 64{y^8} = \left( {x + 2 + 8{y^4}} \right)\left( {x + 2 – 8{y^4}} \right)\)
Factorización de 9\({x^2} – 2{y^2}\)
| \(9{x^2}\) | \(2{y^2}\) |
| \(\sqrt {9{x^2}} = 3x\) | \(\sqrt {2{y^2}} = \sqrt 2 y\) |
9\({x^2} – 2{y^2} = \left( {3x + \sqrt 2 y} \right)\left( {3x + \sqrt 2 y} \right)\)
Factorización de 81\({x^4} – 16{y^4}\)
| \(81{x^4}\) | \(16{y^4}\) |
| \(\sqrt {81{x^4}} = 9{x^2}\) | \(\sqrt {16{y^4}} = 4{y^2}\) |
81\({x^4} – 16{y^4} = \left( {9{x^2} + 4{y^2}} \right)\left( {9{x^2} – 4{y^2}} \right)\)
\(\;\; = \left( {9{x^2} + 4{y^2}} \right)\left( {3x + 2y} \right)\left( {3x – 2y} \right)\)
4. Identificar trinomios factorizables como producto de binomios
Al considerar partir del producto notable:
\(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab\)
Podemos factorizar trinomios de la forma:
\({x^2} + px + q\)
para ello hay que encontrar dos números cuyo producto sea igual a \(q\) y su suma a \(p\), es decir:
\(q = ab\)
\(p = a + b\)
Ejemplos prácticos 4
Para factorizar un trinomio de la forma
\({x^2} + px + q\)
Nos podemos apoyar en un esquema de apoyo como los que se muestran, donde a es un divisor de \(q\;\)y \(b = \frac{q}{a}\).
| Factorización de \({x^2} – 7x + 12\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^2}\) | \( – 7x\) | \(12\) | |
| \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\) | |||
| \(a + b = – 7\) | \(ab = 12\) | ||
| Divisores de 12: \(a = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 12\) | |||
| \(a\) | \(b\) | \(a + b\) | \(ab\) |
| \( – 3\) | \( – 4\) | \( – 7\) | \(12\) |
| \({x^2} – 7x + 12 = \left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right)\) | |||
| Factorización de \({x^2} + 7x + 12\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^2}\) | \(7x\) | \(12\) | |
| \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\) | |||
| \(a + b = 7\) | \(ab = 12\) | ||
| Divisores de 12: \(a = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 12\) | |||
| \(a\) | \(b\) | \(a + b\) | \(ab\) |
| 3 | 4 | 7 | 12 |
| \({x^2} + 7x + 12 = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)\) | |||
| Factorización de \({x^2} – x – 12\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^2}\) | \( – x\) | \(12\) | |
| \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\) | |||
| \(a + b = – 1\) | \(ab = – 12\) | ||
| Divisores de 12: \(a = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 12\) | |||
| \(a\) | \(b\) | \(a + b\) | \(ab\) |
| \( – 4\) | \(3\) | \( – 1\) | \( – 12\) |
| \({x^2} – x – 12 = \left( {x – 4} \right)\left( {x + 3} \right)\) | |||
| Factorización de \({x^2} + x – 12\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^2}\) | \( – x\) | \(12\) | |
| \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\) | |||
| \(a + b = – 1\) | \(ab = – 12\) | ||
| Divisores de 12: \(a = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 12\) | |||
| \(a\) | \(b\) | \(a + b\) | \(ab\) |
| \(4\) | \( – 3\) | \(1\) | \( – 12\) |
| \({x^2} + x – 12 = \left( {x – 4} \right)\left( {x + 3} \right)\) | |||
| Factorización de \({x^4} – 2{x^2} – 63\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^4}\) | \( – 2{x^2}\) | \( – 63\) | |
| \(\left( {{x^2} + a} \right)\left( {{x^2} + b} \right)\) | |||
| \(a + b = – 2\) | \(ab = – 63\) | ||
| Divisores de \(63\): \(a = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63\) | |||
| \(a\) | \(b\) | \(a + b\) | \(ab\) |
| \( – 9\) | \(7\) | \( – 2\) | \( – 63\) |
| \({x^4} – 2{x^2} – 63 = \left( {{x^2} – 9} \right)\left( {{x^2} + 7} \right)\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{x^{}} + 3} \right)\left( {{x^{}} – 3} \right)\left( {{x^2} + 7} \right)\) |
|||
5. Identificar diversos productos notables tales como: binomios al cubo, diferencia de cubos o suma de cubos.
Para factorizar una expresión algebraica también es útil considerar a los siguientes productos notables
\({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({\left( {a – b} \right)^3} = {a^3} – 3{a^2}b + 3a{b^2} – {b^3}\)
\({a^3} + {b^3} = \left( {{a^{}} + {b^{}}} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right)\)
\({a^3} – {b^3} = \left( {{a^{}} – {b^{}}} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
Ejemplos prácticos 5
| Factorización de \({x^6} + 9{x^4} + 27{x^2} + 27\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^6}\) | \(9{x^4}\) | \(27{x^2}\) | \(27\) |
| \(\sqrt[3]{{{x^6}}} = {x^2}\) | \(\sqrt[3]{{27}} = 3\) | ||
| \(3{\left( {{x^2}} \right)^2}\left( 3 \right) = 9{x^4}\) | \(3\left( {{x^2}} \right){\left( 3 \right)^2} = 27{x^2}\) | ||
| Tenemos un binomio al cubo | |||
| \({x^6} + 9{x^4} + 27{x^2} + 27 = {\left( {{x^2} + 3} \right)^3}\) | |||
| Factorización de \({x^3} – 6{x^2}y + 12x{y^2} – 8{y^3}\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^3}\) | \(6{x^2}y\) | \(12x{y^2}\) | \(8{y^3}\) |
| \(\sqrt[3]{{{x^6}}} = {x^{}}\) | \(\sqrt[3]{{8{y^3}}} = 2y\) | ||
| \(3{\left( {{x^{}}} \right)^2}\left( {2y} \right) = 6{x^2}y\) | \(3\left( {{x^{}}} \right){\left( {2y} \right)^2} = 12x{y^2}\) | ||
| Tenemos un binomio al cubo | |||
| \({x^3} – 6{x^2}y + 12x{y^2} – 8{y^3} = {\left( {{x^{}} + 2y} \right)^3}\) | |||
| Factorización de \({x^3} + 8{y^3}\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^3}\) | \(8{y^3}\) | ||
| \(\sqrt[3]{{{x^3}}} = {x^{}}\) | \(\sqrt[3]{{8{y^3}}} = 2y\) | ||
| Tenemos una diferencia de cubos | |||
| \({x^3} + 8{y^3} = {\left( {{x^{}} + 2y} \right)^{}}\left( {{x^2} – 2xy + 4{y^2}} \right)\) | |||
| Factorización de \({x^6} – 27\) | |||
|---|---|---|---|
| \({x^6}\) | \(27\) | ||
| \(\sqrt[3]{{{x^6}}} = {x^2}\) | \(\sqrt[3]{{27}} = 3\) | ||
| Tenemos una suma de cubos | |||
| \({x^6} + 27 = \left( {{x^2} – 3} \right){\left( {{x^4} + 3{x^2} + 9} \right)^{}}\) \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{x^{}} + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^{}} – \sqrt 3 } \right)\left( {{x^4} + 3{x^2} + 9} \right)\) |
|||
6. Agrupación de factores comunes
Caso del trinomio de la forma \(m{x^2} + px + q\)
Al considerar el siguiente desarrollo
\(\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = ac{x^2} + \left( {ad + bc} \right)x + bd\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = m{x^2} + px + q\)
Haciendo \(m = ac\) y \(q = bd\), \(p = ad + bc\):
\(mq = acbd = \left( {ad} \right)\left( {bc} \right)\)
De lo anterior concluimos:
Para factorizar un trinomio de la forma \(m{x^2} + px + q\) hay que encontrar dos números cuyo producto sea igual a \(mq\) y suma igual a \(p\).
Ejemplos prácticos 6
| Factorización de \(6{x^2} – 13x + 6\) | Operaciones previas realizadas | ||
|---|---|---|---|
| \(6{x^2}\) | \( – 13x\) | \(6\) | \(6\left( 6 \right) = 36\) \(36 = \left( { – 9} \right)\left( { – 4} \right)\) \( – 13 = – 9 – 4\) |
| \(6{x^2} – 13x + 6 = \left( {6{x^2} – 9x} \right) + \left( { – 4x + 6} \right)\) | Se separa \( – 13x = – 9x – 4x\) Se hacen dos grupos de sumandos |
||
| \(6{x^2} – 13x + 6 = 3x\left( {2x – 3} \right) – 2\left( {2x – 3} \right)\) | En el primer grupo se identificó el factor común \(3x\) y se factorizó. En el segundo grupo se identificó el factor común \( – 2\) y se factorizó. |
||
| \(6{x^2} – 13x + 6 = \left( {2x – 3} \right)\left( {3x – 2} \right)\) | Se identificó el factor común \(2x – 3\)y se factorizó | ||
| Factorización de \(6{x^2} + 7x – 20\) | Operaciones previas realizadas | ||
|---|---|---|---|
| \(6{x^2}\) | \( + 7x\) | \( – 20\) | \(6\left( { – 20} \right) = – 120\) \( – 120 = \left( {15} \right)\left( { – 8} \right)\) \(15 – 8 = 7\) |
| \(6{x^2} + 7x – 20 = \left( {6{x^2} + 15x} \right) + \left( { – 8x – 20} \right)\) | Se separa \(7x = 15x – 8x\) Se hacen dos grupos de sumandos |
||
| \(6{x^2} – 13x + 6 = 3x\left( {2x + 5} \right) – 4\left( {2x + 5} \right)\) | En el primer grupo se identificó el factor común \(3x\) y se factorizó. En el segundo grupo se identificó el factor común \( – 4\) y se factorizó. |
||
| \(6{x^2} – 13x + 6 = \left( {2x + 5} \right)\left( {3x – 4} \right)\) | Se identificó el factor común \(2x + 5\;\)y se factorizó | ||
| Factorización de 4\({x^2} + 13x + 10\) | Operaciones previas realizadas | ||
|---|---|---|---|
| \(4{x^2}\) | \(13x\) | \(10\) | \(4\left( {10} \right) = 40\) \(40 = \left( 5 \right)\left( 8 \right)\) \(5 + 8 = 13\) |
| 4\({x^2} + 13x + 10 = \left( {4{x^2} + 5x} \right) + \left( {8x + 10} \right)\) | Se separa 13\(x = 5x + 8x\) Se hacen dos grupos de sumandos |
||
| 4\({x^2} + 13x + 10 = x\left( {4x + 5} \right) + 2\left( {4x + 5} \right)\) | En el primer grupo se identificó el factor común \(x\) y se factorizó. En el segundo grupo se identificó el factor común \(2\) y se factorizó. |
||
| 4\({x^2} + 13x + 10 = \left( {4x + 5} \right)\left( {x + 2} \right)\) | Se identificó el factor común 4\(x + 5\;\)y se factorizó | ||
| Factorización de \(2{x^2} – xy – 28{y^2}\) | Operaciones realizadas | ||
|---|---|---|---|
| \(2{x^2}\) | \( – xy\) | \( – 28{y^2}\) | \(2\left( { – 28} \right) = – 56\) \( – 56 = \left( 7 \right)\left( { – 8} \right)\) \(7 – 8 = – 1\) |
| \(2{x^2} – xy – 28{y^2} = \left( {2{x^2} + 7xy} \right) + \left( { – 8xy – 28{y^2}} \right)\) | Se separa -\(xy = 7xy – 8xy\) Se hacen dos grupos de sumandos |
||
| \(2{x^2} – xy – 28{y^2} = x\left( {2x + 7y} \right) – 4y\left( {2x + 7y} \right)\) | En el primer grupo se identificó el factor común \(x\) y se factorizó. En el segundo grupo se identificó el factor común \( – 4y\) y se factorizó |
||
| \(2{x^2} – xy – 28{y^2} = \left( {2x + 7y} \right)\left( {x – 4y} \right)\) | Se identificó el factor común 2\(x + 7y\;\)y se factorizó | ||
7. Combinación de diversas técnicas: Agregar y quitar
Ejemplos prácticos 7
Factorizar \({x^4} + 1\).
Antes de comenzar, notamos que no es una diferencia de cuadrados, ni de cubos, y ni siquiera tenemos un trinomio, pero si agregamos \(2{x^2}\) ya tendremos un trinomio cuadrado perfecto, por lo cual agregaremos y quitaremos \(2{x^2}\)
| Factorización de \({x^4} + 1\) | Operaciones realizadas |
|---|---|
| \({x^4} + 1 = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) – 2{x^2}\) | Se agregó y se quitó \(2{x^2}\) Se agrupó en 2 sumandos El primer sumando es un trinomio cuadrado perfecto |
| \({x^4} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} – 2{x^2}\) | Se factorizó el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado. Se tiene una diferencia de cuadrados |
| \({x^4} + 1 = \left( {{x^2} + 1 + \sqrt 2 x} \right)\left( {{x^2} + 1 – \sqrt 2 x} \right)\) | \({x^4} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 2 x + 1} \right)\) |
| \({x^4} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 2 x + 1} \right)\) | Se reordena cada factor |
| Factorización de \({x^6} + 27\) | Operaciones realizadas |
|---|---|
| \({x^6} + 27 = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\) | Se tiene una suma de cubos |
| \({x^6} + 27 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^{}}\left( {{x^4} – 3{x^2} + 9} \right)\) | Se factorizó la suma de cubos |
| Factorización de \({x^4} – 3{x^2} + 9\) | |
| \({x^4} – 3{x^2} + 9 = \left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right) – 9{x^2}\) | Se expresa \( – 3{x^2} = 6{x^2} – 9{x^2}\) Se agrupa en dos sumandos El primer sumando es un trinomio cuadrado perfecto |
| \({x^4} – 3{x^2} + 9 = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} – 9{x^2}\) | Se tiene una diferencia de cuadrados |
| \({x^4} – 3{x^2} + 9 = \left( {{x^2} + 3 + 9x} \right)\left( {{x^2} + 3 – 9x} \right)\) | Se factoriza la diferencia de cuadrados |
| \({x^6} + 27 = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 9x + 3} \right)\left( {{x^2} – 9x + 3} \right)\) | |
Siga en Factorización (parte 2)
Trabajo publicado en: Dic., 2022.
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