Significado: Factorización Factor Común (Nro/Monomio/Polinomio), Binomio y Trinomio

Definición formal

La factorización comprende una gama de procedimientos algebraicos destinados a escribir una expresión como producto de dos o más factores, que pueden ser números (distintos de 1) y polinomios. Hay más de una técnica y su aplicación depende del tipo de expresión que se quiera factorizar, aunque es importante destacar que no todas las expresiones algebraicas se pueden factorizar.

Avanzamos en la explicación de las técnicas de factorización más frecuentes, acompañadas de ejemplos ilustrativos. Hay que destacar que, dependiendo de la expresión, se puede aplicar más de una técnica.

1) Factorización por factor común: número, monomio o polinomio

En esta técnica se trata de encontrar un factor que esté presente en todos los términos. Este factor común puede ser un número, un monomio (polinomio de un solo término) o un polinomio.

El factor común se determina hallando el máximo común divisor de los coeficientes numéricos y los factores literales (letras) elevados al menor exponente. Una vez hallado el factor común, se divide cada término del polinomio entre este, para conformar el polinomio factor.

El ejemplo aclara el punto

Factorizar: 18x2 – 12x3 + 6x4 – 48x5

Lo primero es encontrar el MCD de los números 8, 12, 6 y 42:

18 = 32∙2
12 = 22∙3
6=3∙2
48 = 24∙3

El MCD es el producto de los factores comunes tomados con su menor exponente. En este caso los factores comunes son 2 y 3 y el MCD = 3∙2 = 6. En cuanto al factor literal la “x” se repite en todos los términos y el menor exponente es dos, combinando esta información, el factor común es:

6x2

Ahora se divide cada término del polinomio original para encontrar el polinomio factor:

18x2 ÷ 6x2 = 3
– 12x3÷ 6x2 = –2x
6x4 ÷ 6x2 = x2
– 48x5 ÷ 6x2 = –8x3

El polinomio factor es: 3–2x+ x2 –8x3

Ahora simplemente se indica el producto entre el factor común y el polinomio factor, quedando lista la factorización de la expresión original:

18x2 – 12x3 + 6×4 – 48×5 = 6×2 ∙(3 –2x + x2 – 8×3)

Es fácil verificar que la expresión a la derecha de la igualdad es la misma que la de la izquierda, simplemente hay que aplicar la propiedad distributiva. Se deja como ejercicio para el lector.

2) Factorización de binomios de la forma a2 − b2

Un binomio de la forma a2 − b2 se puede escribir como producto de dos factores gracias al siguiente producto notable:

a2 − b2 = (a + b)∙(a − b)

Ejemplo 2

Factorizar: 25x2 − 49

Se trata de una diferencia de cuadrados perfectos, ya que:

25x2 = (5x)2
49 = 72

Por lo tanto:

a = 5x
b = 7

Y la expresión queda así:

25x2 − 49 = (5x + 7)(5x − 7)

Se deja como ejercicio verificar esta igualdad con la ley distributiva.

3) Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos, del cual se tiene el siguiente producto notable:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Si se identifica un trinomio de esta clase, se puede factorizar rápidamente como el cuadrado de una suma o de una diferencia. Para ello se verifica que contenga dos cuadrados perfectos a2 y b2, que el término restante sea el doble producto de a y b y que el signo que precede al tercer término sea +.

Ejemplo 3

Factorizar: 9x2 + 12x + 4

Se observa que en efecto hay dos cuadrados perfectos: 9x2 y 4, los cuales se escriben así:

9x2 = (3x)2
4 = 22
El signo que precede al 4 es positivo, entonces:

a = 3x
b = 2

Ahora se comprueba que el término restante es el doble producto de a y b:

12x = 2∙3x∙2

Y ya se puede escribir la expresión factorizada como:

9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2

4) Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c

Estos trinomios no se pueden factorizar como los del caso anterior, porque c no es un cuadrado perfecto. En tal caso se prueba con este procedimiento:

-Escribir dos paréntesis, dentro de los cuales está la raíz cuadrada del primer término, así:

x2 + bx + c = (x )∙ (x )

-Seguidamente se añaden los signos correspondientes: el primer paréntesis lleva el signo del segundo término y el otro paréntesis lleva el signo que resulta al multiplicar los signos del segundo y el tercer término.

-Por tanteo se buscan dos números tales que su producto sea igual a c. Si los signos de los paréntesis son iguales, la suma de ambos números debe ser igual b, si los signos son diferentes, entonces la resta entre el mayor y el menor debe ser igual a b y se coloca el mayor de los números en el primer paréntesis siempre.

Ejemplo 4

Factorizar: x2 − 6x − 40

Primero se escriben los paréntesis con sus respectivos signos. El signo en primer paréntesis es negativo, y el signo del segundo paréntesis es (−)×(−) = +, por lo tanto:

(x − )∙ (x + )

Ahora se buscan dos números cuyo producto sea 40. Tanteando, es decir, probando, dichos números son 4 y 10, ya que:

4×10 = 40

También hay otras combinaciones de números que dan 40, pero solamente sirven aquellos cuya resta resulte 6, puesto que los signos de los paréntesis son diferentes. Los números 10 y 4 son adecuados, ya que:

10 – 4 = 6

Por lo tanto la factorización buscada es:

x2 − 6x − 40 = (x − 10 ) ∙ (x + 4)

Queda como ejercicio verificar la igualdad.

5) Factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c

Estos trinomios difieren del caso anterior en que el término cuadrático está acompañado de un coeficiente diferente de 0 y de 1. En este caso se procede así:

-Se multiplica toda la expresión por “a” y se reescribe asó:

a∙(ax2 + bx + c) = (ax)2 + a∙bx + a∙c

-Ahora se escriben dos paréntesis dentro de los cuales está el término ax. Los signos se colocan siguiendo el mismo criterio explicado en el apartado anterior:

(ax)2 + a∙(bx) + a∙c = (ax ) ∙ (ax )

-Seguidamente se buscan dos números tales que:

i) Su producto sea “a∙c” y
ii) La suma sea b, si los dos signos en los paréntesis son iguales. Y si son signos diferentes, entonces se busca la resta.

-Se completan los paréntesis con estos números, pero como la expresión original se multiplicó por “a”, para obtener la factorización definitiva hay que dividir el resultado por “a”.

Ejemplo 5

Factorizar: 6x2 − 5x − 6

Como a = 6 se multiplica toda la expresión por 6:

6∙(6x2 − 5x − 6) = (6x)2 − 6∙(5x) − 6∙6 = (6x)2 − 6∙ (5x) − 36

No hay que efectuar la operación 6∙ (5x), se deja indicada nada más. Los paréntesis quedan así:

(6x)2 − 6∙ (5x) − 36 = (6x − ) (6x + )

Los signos son diferentes, por lo tanto hay que buscar dos números que multiplicados den 36 y restados resulten b = 5. Si el valor de a∙c no es muy grande se encuentran por tanteo, pero en cualquier caso se obtienen a partir de la combinación de productos de los factores de a∙c.

Por ejemplo, el 36 se puede expresar en:

36 = 6 ∙ 6 = 12 ∙ 3 = 9 ∙ 4 = 18 ∙ 2

De estas combinaciones, la adecuada es 4 y 9, ya que:

4 × 9 = 36
9 − 4 = 5

Por tanto:

(6x)2 − 6∙ (5x) − 36 = (6x − 9 ) (6x + 4)

El paso final para factorizar es dividir entre 6 o mejor entre 3×2 y simplificar: