Definición de Hipérbola
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias
La hipérbola es un elemento visible a instancias de la geometría determinado por una curva expresada simétricamente entre dos ejes opuestos constituidos por los correspondientes focos que posibilitan calcular sus posiciones.
Etimología: Se lo ubica etimológicamente en el latín hyperbŏla, con raíz en el griego hyperbolḗ, remitiendo a la idea de excederse o traspasarse..
Cat. gramatical: Sustantivo fem.
Hipérbola
La hipérbola es una de las cónicas que se ha estudiado desde la época de los griegos, se ha aplicado en el diseño de engranes, y de edificios modernos con fines estéticas y funcionales. Cuando un cono recto es intersectado con un plano con un ángulo menor al ángulo entre el eje de simetría del cono y su generatriz, el resultado es una Hipérbola, este hecho, ya era conocido por los griegos y fue estudiado por Apolonio.
Dados dos puntos fijos \({F_1}\) y \({F_2}\), a los cuales llamaremos Focos de la Hipérbola y una constante \(k > 0\); la Hipérbola con focos en los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\), es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas distancias a los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\) es igual a una constante \(k\), es decir:
\(\left| {P{F_1} – P{F_2}} \right| = k\)
Construcción de la elipse con regla y compás
Dados dos puntos fijos \({F_1}\) , \({F_2}\) y una constante \(k > 0\) podemos construir varios puntos que pertenezcan a la elipse que cumpla:
\(P{F_1} + P{F_2} = k;\)
Para ello es suficiente con realizar los siguientes pasos.
Situación inicial
Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_1}\) y \(P_1^\prime \).
La manera en que se eligieron los radios se garantiza:
\({F_2}{P_1} – {F_1}{P_1} = k\)
\({F_2}P{^\prime_1} – {F_1}P{^\prime_1} = k\)
Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_1}\) y \(Q_1^\prime \)
Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_2}\) y \(P_2^\prime \).
La manera en que se eligieron los radios se garantiza:
\({F_2}{P_2} – {F_1}{P_2} = k\)
\({F_2}P{^\prime_2} – {F_1}P{^\prime_2} = k\)
Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_2}\) y \(Q_2^\prime \)
De manera análoga se construyen más puntos
Al unir los puntos se obtiene el esbozo de una hipérbola cuyos focos son los puntos \({F_1}\) y \({F_2}.\)
Elementos y características de la hipérbola
La siguiente figura muestra otros elementos importantes de la elipse.
| Elemento | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Centro de la Hipérbola | Punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \), donde \({F_1}\) y \({F_2}\) son los focos de la hipérbola. | \(O\) |
| Eje Focal | Es la recta que pasa por los focos | \({V_1}\) y \({V_2}\) |
| Eje conjugado | Línea recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola | |
| Cuerda | Segmento de recta que une dos puntos de la hipérbola | \(\overline {P_3^\prime Q_1^\prime } \) |
| Cuerda Focal | Cuerda que pasa por uno de los focos de la hipérbola | \(\overline {PS} \) |
| Diámetro de la hipérbola | Cuerda que pasa por el centro | \(\overline {{P_3}Q_3^\prime } \) |
Ecuaciones que modelan las Hipérbolas
Ecuaciones sobre la hipérbola con centro en el origen y eje focal respecto de uno de los ejes coordenados
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( { – c,0} \right),\;{F_2}\left( {c,0} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( { – a,0} \right),\;{V_2}\left( {a,0} \right).\;\)Eje Focal: Eje \(x\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}.\)
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {0, – c} \right),\;{F_2}\left( {0,c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {0, – a} \right),\;{V_2}\left( {0,a} \right).\;\)Eje Focal: Eje \(y.\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}\)
Ejemplos resueltos
1. Características de la Hipérbola
El eje focal está sobre el eje de las abscisas (eje de las \(x\)) la distancia entre sus focos es \(2c = 10\) y \(2b = 8\) y su centro está en el origen
Ecuación de la hipérbola
En este caso
\(b = 4,\;c = 5,\) por lo tanto:
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({a^2} + {4^2} = {5^2}\)
\({a^2} = 25 – 16\)\({a^2} = 9\)
\(a = 3\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
2. Características de la Hipérbola
El eje focal está sobre el eje de las ordenadas (eje de las \(y\)), sus semi ejes son \(a = 6,\;b = 8\).
Ecuación de la hipérbola
En este caso
\(a = 4,\;b = 5,\) por lo tanto
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({6^2} + {8^2} = {c^2}\)
\(100 = {c^2}\)\(c = 10\)
\(\frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{8^2}}} = 1\)
\(\frac{{{y^2}}}{{36}} – \frac{{{x^2}}}{{64}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
Ecuaciones de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h – c,k} \right),\;{F_2}\left( {h + c,k} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h – a,k} \right),\;{V_2}\left( {h + a,k} \right).\;\)Eje Focal: \(y = k\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + a = {c^2}.\)
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h,k – c} \right),\;{F_2}\left( {h,k + c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h,k – a} \right),\;{V_2}\left( {h,k + a} \right).\;\)Eje Focal \(x = h\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}\)
Ejemplos resueltos
Características de la Hipérbola
Los focos son \({F_1}\left( { – 10,2} \right),\;{F_2}\left( {16,2} \right)\) y y la distancia entre los vértices es igual a 24.
Ecuación de la Hipérbola
En este caso: \(2c = {F_1}{F_2} = 26,\) por lo tanto: \(c = 13\)
\(2a = 24\)
\(a = 12\)
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
\({13^2} = {12^2} + {b^2}\)
\({b^2} = {13^2} – {12^2}\)
\({b^2} = 25\)
El centro de la elipse está en el punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \) el cual es \(C\left( {3,2} \right).\)
El eje focal es paralelo al eje de las \(x\).
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}{{{{12}^2}}} – \frac{{{{\left( {y – 2)} \right)}^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}{{144}} – \frac{{{{\left( {y – 2} \right)}^2}}}{{25}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
Características de la Hipérbola
El centro está en \(C\left( {2, – 2} \right),\) uno de sus focos es \(F\left( {2,6} \right)\) y uno de sus vértices es \(V\left( {2,4} \right)\).
Ecuación de la Hipérbola
En este caso: \(c = CF = 8;\) y a su vez \(a = CV = 6\)
Como
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
\({8^2} = {6^2} + {b^2}\)
\(28 = {b^2}\) \(28 = {b^2}\)
El eje focal es paralelo al eje de las \(y\).
\(\frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {y – \left( { – 2} \right)} \right)}^2}}}{{36}} – \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{28}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{{36}} – \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{28}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
Art. actualizado: Nov. 2022; sobre el original de octubre, 2011.
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