Significado de Onda Sonora Definición, y Características Física-Matemáticas

Definición formal

Una onda sonora se produce a causa de una perturbación que se transmite en un medio material, por ejemplo, un gas, modificando sucesivamente la presión y la densidad del medio. De esta manera ocurren compresiones y expansiones alternativas que se transmiten como ondas longitudinales. Cuando llegan al oído, estas ondas dan lugar, a su vez, a vibraciones en el tímpano, desencadenando impulsos eléctricos que viajan hasta el cerebro, donde este las interpreta como sonido.

Puesto que el sonido consiste en modificaciones de la presión en un medio, se le conoce también como una onda de presión y según las características del medio, la onda se propaga a determinada velocidad. Por ejemplo, la velocidad del sonido en el aire es de aproximadamente 340 m/s, aunque factores como la temperatura modifican este valor.

Características Física-Matemáticas para la variación de la presión en el medio

Inicialmente, en una columna de gas sin perturbar a lo largo del eje x, la presión en el gas es po y la densidad del mismo es ρo, pero si se produce una perturbación, un pequeño volumen de gas Adx, donde A es el área de la sección transversal y dx es el espesor, se pone en movimiento gracias a la fuerza neta asociada al cambio de presión.

Si p es la presión final, el cambio en la presión es Δp = p – po, el cual es proporcional a la variación con respecto a x del desplazamiento s(x,t) de las moléculas en el medio, si la perturbación no es demasiado grande (Δp pequeño):

\(\Delta p\propto -\frac{\partial s}{\partial x}\)

La constante de proporcionalidad necesaria para plantear una ecuación es el módulo volumétrico o módulo de compresibilidad, denotado como B, una característica del medio que describe su respuesta elástica, es decir, su capacidad para experimentar deformación.

B viene en unidades de presión (pascal en el Sistema Internacional de unidades), ya que indica la presión necesaria para producir un cambio unitario de volumen en el medio. A mayor valor de B, se requiere un mayor cambio de presión para que el volumen cambie.

Con esta magnitud, la ecuación para la presión acústica se escribe en derivadas parciales como:

\(\Delta p=-B\frac{\partial s}{\partial x}\)

Se usa la derivada parcial ya que el desplazamiento es una función de dos variables: la coordenada x y el tiempo t, pero este se mantiene constante al momento de la observación.

Ahora bien, el desplazamiento de las moléculas del medio se describe adecuadamente mediante una función de tipo senoidal o cosenoidal:

s(x,t) = sm cos (kx – ωt)

Donde:

• sm es el desplazamiento máximo de la partícula respecto a su posición de equilibrio y viene en unidades de longitud, como metros en el Sistema Internacional de Unidades SI.
• k es el número de onda (2π radianes por unidad de longitud) y sus unidades son de inverso de longitud.
• ω es la frecuencia angular de la onda (2π radianes por unidad de tiempo) y tiene unidades de inverso de tiempo.

Derivando s (x,t) respecto a x, manteniendo t constante, la variación en la presión toma la forma:

\(\Delta p=-B\frac{\partial }{\partial x}[{{s}_{m}}\cos (kx-\omega t)]=B\cdot {{s}_{m}}\cdot k\cdot sen(kx-\omega t)\)

Las gráficas de las funciones seno y coseno son idénticas, salvo que están desfasadas 90º una respecto a la otra, de esta manera la onda de presión Δp está desfasada respecto al desplazamiento sm en 90º.

Al producto B∙sm∙k se le llama Δpm o variación máxima de presión o presión relativa máxima. Como el módulo de compresibilidad B y la velocidad de la onda en el medio están relacionados mediante la siguiente relación:

\(v=\sqrt{\frac{B}{\rho }}\)

La presión relativa máxima se puede escribir en términos de la densidad y la velocidad de propagación de la onda en el medio:

Δpm = (ρv2) sm∙k

Si la longitud de onda es λ, en una onda sinusoidal se cumple que el número de onda k es:

\(k=\frac{2\pi }{\lambda }\)

Y está relacionada con la velocidad a través del producto entre la frecuencia y la longitud de onda:

\(v=\lambda \cdot f=\frac{2\pi f}{k}\)

Pero la frecuencia f y la frecuencia angular ω están relacionadas a través de ω = 2πf, entonces:

\(v=\frac{\omega }{k}\)

Por lo tanto se puede sustituir una de las v en la expresión, simplemente para eliminar el número de onda k:

\(\Delta p=\rho v\left( \frac{\omega }{k} \right)\cdot {{s}_{m}}\cdot k\)

Y la presión relativa máxima queda finalmente expresada en términos de las propiedades del medio: densidad y la velocidad de propagación, así como de las características de la onda: la frecuencia angular y el desplazamiento máximo:

Δpm = ρvωsm

Ejercicio ilustrativo

El oído contiene unas células ciliadas especiales que convierten las ondas sonoras en impulsos eléctricos que viajan hasta el cerebro y son detectores sumamente sensibles. Supóngase un sonido apenas audible, con un desplazamiento máximo sm tan pequeño como 1 × 10-11 m y frecuencia f=1000 s-1 (1 s-1 es 1 hertz o hertzio, en honor al físico alemán Heinrich Hertz). ¿Cuál será la presión relativa máxima Δpm de este susurro?

Datos:
Velocidad del sonido en el aire: 340 m/s
Densidad del aire: 1.3 kg/m3

Respuesta

Con los datos suministrados se puede utilizar directamente la ecuación deducida en la sección anterior:

Δpm = ρvωsm = 1.3 kg/m3 × 340 m/s × 2π × 1000 Hz × 1 x 10-11 m = 3 × 10-5 Pa

Es una presión muy pequeña, al menos si se la compara con la presión atmosférica, que es de 101000 Pa aproximadamente a nivel del mar, lo que demuestra cuan sensible es el mecanismo sensor de presión del oído.