Significado de Paralelogramo Definición, Área, Ángulos, y Ley

Definición formal

El paralelogramo es una figura geométrica con dos pares de lados paralelos, cuya clasificación compatibiliza entre sus formas al cuadrado, rectángulo y rombo, vistos como casos particulares, porque si bien todo cuadrado es un paralelogramo, no todo paralelogramo es un cuadrado, como queda demostrado en el ejemplo de la Figura 1.

Entre las características determinantes se observa que la suma de los ángulos interiores es igual a 360°, lo cual vale para todo cuadrilátero, así como que los ángulos internos opuestos son iguales.

Figura 1

¿Cómo deducir y calcular el área de un paralelogramo?

Deducimos la fórmula que proporciona la respuesta. Una pista importante es que todas las propiedades de las figuras geométricas que hay por ahí pueden deducirse sabiendo tres cosas (o menos):

– Calcular el área de un rectángulo (pista: es \(base\times altura\)).
– Trigonometría.
Teorema de Pitágoras.

Bien, supongamos que conocemos la medida de los segmentos \(\bar{AB}\) y \(\bar{BC}\), y el ángulo \(\gamma\) (esto es suficiente para conocer la figura completamente, y un buen ejercicio es tratar de dibujarlo a partir de estas medidas y notar que hay un único paralelogramo posible). Deduzcamos cómo calcular el área.

Tomemos una tijera imaginaria y cortemos verticalmente el paralelogramo por el vértice D hasta llegar al punto E. Si hacemos esto, obtenemos un triángulo. Puesto que ya vimos que \(\gamma\) y \(\beta\) son complementarios, podemos juntar los vértices C y B para obtener ¡un rectángulo! (ver Figura 3). Ya sabemos calcular el área de un rectángulo, por lo que el área de nuestro paralelogramo es \(\bar{AD}\times \bar{ED}\).

Figura 3: Area paralelogramo.

Si conociéramos \(\bar{ED}\), esto sería suficiente, pero como no lo dimos por supuesto, podemos calcularlo. Notemos que \(\bar{ED}\) tiene en realidad la misma longitud que \(\bar{AE’}\), y que también conocemos \(\bar{AB}\). Un poquito de trigonometría sobre el triángulo ABE’ nos dice que \(\sin (\gamma) = \bar{AE’}/\bar{AB}\), y entonces el área del rectángulo obtenido (y por lo tanto del paralelogramo) es

Ángulos suplementarios

Figura 2: Angulos suplementarios.

Como propiedad, se distingue que los ángulos no opuestos son suplementarios. ¿Cómo? Si cortamos el paralelogramo y hacemos coincidir los lados \(\bar{AB}\) y \(\bar{CD}\), los ángulos Δ y Α suman 180°, como se ve en la Figura \ref{fig:par_ang}. Ahora parece obvio, y aunque la justificación formal sería «dado que \(\bar{AB}\) y \(\bar{CD}\) son paralelos, el suplemento de Δ con respecto a la recta que contiene a \(\bar{AD}\) es igual Α», la idea intuitiva no es menos cierta.

Cabe aclarar que de ninguna manera esto implica que una inspección visual es suficiente para deducir propiedades, pero visualizar las cosas antes de formalizarlas es fundamental, porque ¿qué vamos a formalizar, si no? ¿Algo sacado de una lista que no entendemos?

Ley del paralelogramo

Figura 4: Diagonales

La fórmula se expresa en

\(\bar{AC}^2 + \bar{BD}^2 = \bar{AB}^2+\bar{BC}^2+\bar{CD}^2+\bar{AD}^2\)

Esta ley relaciona los lados con las diagonales (Figura 4), y antes de intentar demostrarla vale la pena tratar de deducir la manera de calcular las longitudes de las diagonales. Nada de qué preocuparse, pues para calcular la longitud de \(\bar{BD}\), podemos olvidarnos por un momento de los segmentos \(\bar{BC}\) y \(\bar{CD}\), y trabajar simplemente con el triángulo ABD.

Entender la mecánica de cómo deducir propiedades en figuras o cuerpos geométricos colabora, fundamentalmente, con la interpretación espacial de cuestiones como un brazo de palanca o la distribución de las fuerzas en una estructura, si el día de mañana se nos ocurriera diseñar un puente u otra estructura.