Significado de Triángulo Escaleno (Área, Perímetro…) Definición, Propiedades, y Fórmula de Herón

Definición formal

El triángulo escaleno es una figura geométrica plana y cerrada de tres lados, cuyas medidas y ángulos internos resultan distintos. El vocablo escaleno procede del griego skalenos, remitiendo a los adjetivos inclinado, oblicuo o distinto, todos perfectamente aplicables al triángulo escaleno.

Los elementos que componen y destacan esta figura se identifican en:

Lados, son los 3 diferentes segmentos de recta que componen la figura.

Vértice, es el punto en común que tienen dos lados adyacentes del triángulo. Cada triángulo tiene 3 vértices.

Ángulo interno, región delimitada por dos lados adyacentes del triángulo, cuyo punto en común es el vértice. Todos los triángulos tienen 3 ángulos internos.

Altura, también en número de 3, son segmentos conectan un vértice con un punto del lado opuesto o bien con la extensión de este, de forma perpendicular. Las tres alturas se intersectan en un punto que se denomina ortocentro.

Mediana, es el segmento dirigido a partir del vértice en dirección al punto medio que se encuentra ubicado en el lado opuesto, observando que la intersección de las tres medianas es el baricentro.

Mediatriz, segmento cuya propiedad resulta perpendicular a un lado y atraviesa el punto medio de este. Es posible trazar tres de estos segmentos, a lo que la intersección se denomina circuncentro.

Bisectriz, este segmento divide al ángulo interno en dos partes iguales. Es posible identificar tres bisectrices, al respecto de cada ángulo, coincidiendo en un punto al que se conoce como incentro, el cual equidista de cada uno de los lados del triángulo.

En la siguiente figura se muestran algunos de estos elementos. Los lados están denotados con las letras minúsculas a, b y c; los vértices con mayúsculas A, B y C. Para los ángulos se emplean las primeras letras del alfabeto griego α (alfa), β (beta) y γ (gamma) y para las alturas h1, h2 y h3 cuya intersección es el punto rojo.

En esta otra figura se observan las tres medianas m1, m2 y m3, que se cortan en el punto verde, determinado como el baricentro. A diferencia de las alturas, las medianas no tienen que ser perpendiculares a los lados del triángulo.

¿Cómo se calcula el perímetro del triángulo escaleno?

Es el contorno del triángulo, que se calcula simplemente sumando la longitud de los tres lados a, b y c. Si P es el perímetro, entonces:

P = a + b + c

¿Cómo se calcula el Área del triángulo escaleno?

El área A de un triángulo es la mitad del producto de la medida de su base b y la medida de su altura h, siendo la base perpendicular a la altura:

\(A=\frac{1}{2}\left( {base\times altura} \right)\)

\(A=\frac{1}{2}\left( {b\times h} \right)\)

Cualquiera de las tres alturas del triángulo sirve para calcular su área.

Ejercicio: Un triángulo escaleno tiene las siguientes medidas: a = 9 cm, b = 7 cm y c = 6 cm. Calcular su área.

Respuesta

Como se conocen los lados, la fórmula de Herón (explicada a continución) permite calcular rápidamente el área, pero antes es preciso calcular el perímetro:

P = (9 + 7 + 6)cm = 22 cm

El valor de s es el semiperímetro:

s = P/2 = 11 cm.

Por lo tanto:

\(A=\sqrt{{11cm\times (11-9)cm\times (11-7)cm\times (11-6)cm}}=20.98c{{m}^{2}}\)

Fórmula de Herón

Si la medida de los tres lados del triángulo se conoce, se puede aplicar la fórmula de Herón para determinar el área, sin necesidad de calcular la altura. Herón fue un notable matemático de origen griego, quien vivio en el siglo I dC en la ciudad de Alejandría, Egipto.

Para aplicar la fórmula de Herón es necesario calcular el semiperímetro s (la mitad del perímetro):

\(s=\frac{P}{2}=\frac{1}{2}(a+b+c)\)

Y ahora la fórmula:

\(A=\sqrt{{s\times (s-a)\times (s-b)\times (s-c)}}\)

Propiedades

1) El triángulo escaleno pertenece a la familia de los polígonos, un amplio conjunto de figuras geométricas planas y cerradas, formadas a base de segmentos de recta. El polígono con el menor número de lados posible es el triángulo, por lo tanto es el más sencillo de todos.

2) El triángulo escaleno es un polígono irregular, puesto que la medida de sus tres lados es diferente.

3) La medida de sus tres ángulos internos también es diferente, pudiendo ser agudos, obtusos o recto.

4) El triángulo escaleno carece de eje de simetría, por lo tanto no se puede dividir en dos partes iguales, a diferencia de un triángulo equilátero o isósceles.

5) Debido a la carencia de simetría, los segmentos característicos: altura, mediana, mediatriz y bisectriz nunca coinciden en un solo. Por lo tanto, los puntos característicos: ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro tampoco coinciden en uno, pero los tres primeros sí están alineados en la llamada recta de Euler.

6) La suma de las medidas de los ángulos internos es 180º:

α + β + γ = 180º

Esta propiedad es común a todos los triángulos.

6) La sumatoria de las longitudes correspondientes a dos de los lados resulta mayor que la longitud dada en la identificación del tercer lado que completa la figura:

a + b > c

7) El ángulo interno frente al lado más largo del triángulo es el mayor de los tres ángulos internos. Por ejemplo, si el triángulo es escaleno rectángulo, el ángulo opuesto a la hipotenusa mide 90º y la hipotenusa siempre mide más que los dos lados restantes (los catetos).

8) Por los tres vértices de un triángulo escaleno pasa una circunferencia, llamada circunferencia circunscrita, cuyo centro es el punto llamado circuncentro, que es la intersección de las mediatrices, tal como se vio al comienzo.

– Si el triángulo es escaleno acutángulo, el circuncentro está en su interior.
– Para el triángulo escaleno obtusángulo, el circuncentro se ubica fuera del triángulo.
– Y por último, si el triángulo es rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.

9) Dado que el incentro equidista de los lados del triángulo, constituye el centro de la circunferencia inscrita en él, una circunferencia interior al triángulo y que intersecta a cada uno de sus lados en un punto único de tangencia.

Tipos de triángulos escalenos

Uno de los criterios para clasificar a los triángulos es la medida de sus lados, si los tres lados miden igual, el triángulo es equilátero, si dos lados miden igual y el tercero diferente, el triángulo es isósceles. El triángulo escaleno es, como ya se dijo al comienzo, aquel cuyos lados miden diferente. Otro criterio hace uso de los ángulos internos del triángulo, en este sentido se tienen triángulos:

– Rectángulos, con uno de sus ángulos internos igual a 90º.

– Acutángulos, aquellos cuyos ángulos internos son todos agudos (miden menos de 90º).

– Obtusángulos, si uno de los lados mide más de 90º.

Un triángulo puede pertenecer a más de una categoría, de esta forma, en el caso del triángulo escaleno se lo puede asociar a tres tipos:

– Rectángulo y escaleno, es el triángulo con tres lados diferentes y un ángulo interno igual a 90º (triángulo amarillo en la figura). Los ángulos internos restantes son agudos.

– Acutángulo y escaleno, con tres lados distintos y tres ángulos internos agudos (triángulo rosa)

– Obstusángulo y escaleno, tiene tres lados de diferente tamaño y un ángulo interno mayor a 90º (triángulo azul), siendo agudos los otros dos ángulos internos.