Significado de Divisibilidad Definición, Reglas, Ejemplos, y Propiedades

Definición formal

La divisibilidad engloba una serie de reglas que funcionan como un mecanismo que permite comprobar si un número entero a es divisible por otro entero b.

Decimos que b divide a a si existe \(k\in\mathbb{Z}\) tal que \(b\times k = a\) . En tal caso, escribimos \(b|a\) y llamamos b divisor de a, y a múltiplo de b.

Otra forma de verlo es a través del Teorema del Resto, que nos dice que: dados \(a, b \in\mathbb{Z}\) existe un único par \(k, r\in\mathbb{Z}\) con \(0\leq r < b\) tales que \(a = b\times k +r\), donde k se llama cociente y r es el resto. Esto implica que b|a si y sólo sí el resto de dividir a por b es cero.

Reglas y ejemplos de divisibilidad

Existen reglas que nos permiten identificar inmediatamente si un número es divisible por otro y por lo tanto conviene tener presentes.

– Números pares: Un número natural es divisible por 2 si y sólo si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.

– Un número es divisible por 3 si y sólo sí la suma de sus dígitos es divisible por 3. (Notemos que esta regla puede aplicarse recursivamente. Es decir, si queremos comprobar la divisibilidad de 613782, vemos que 6+1+3+7+8+2 = 27, y 2+7 = 9, y como 9 es divisible por 3, lo es también 27 y por lo tanto lo es 613782.)

– Un número es divisible por 4 si:

A) El número formado por las dos últimas cifras es divisible por 4.
B) Termina en 00.
C) Multiplicando por 2 el último dígito y sumando el último obtenemos un múltiplo de 4.

– Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5.

– Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

– Un número es divisible por 11 si la suma de sus dígitos en posiciones impares (contando desde la derecha) menos la suma de sus dígitos en posiciones impares es cero o un múltiplo de 11.

La lista sigue, pero en algún momento conviene detenernos y establecer criterios que nos permitan combinar estas reglas para deducir nuevas, lo que resulta mucho más práctico y posible que memorizar una lista infinita.

Propiedades de la divisibilidad

Antes de enumerar las propiedades, tengamos presentes algunas definiciones básicas:

– Si los únicos divisores de \(p\in\mathbb{N}\) son p, -p, 1 y -1, entonces p se denomina número primo.

– Si a y b son enteros positivos, entonces su Mínimo Común Múltiplo (mcm) es el menor \(c \in\mathbb{N}\) tal que a|c y b|c.

– Análogamente, el Máximo Común Divisor (mcd) es el mayor entero \(c \in\mathbb{N}\) tal que c|a y c|b. Si \(\text{mcd}(a,b) = 1\), a y b se denominan coprimos.

Con estas definiciones, podemos enumerar las siguientes propiedades Si a, b y c son números enteros:

– Transitividad: Si a|b y b|c, entonces a|c.

– Si a|b y b|a, entonces a=b o a=-b.

– Si a|b y a|c, entonces a|(b+c) y a|(b-c).

– Si a|b o a|c, entonces a|bc.

– Si ab|c, entonces a|c y b|c.

a|c y b|c si y sólo si \(\text{mcm}(a,b)|c\) .

– \(\text{mcd}(a,b) \leq \text{mcm}(a,b)\).

– Si p es primo y p|(bc), entonces p|b o p|c.

– Descomposición en números primos: Si \(n\in\mathbb{N}\), existe un único conjunto de números primos \(\{p_1, p_2, \ldots p_M\}\) y exponentes \(\{e_1, e_2, \ldots e_N\}, e_i\in\mathbb{N}\) tales que \(n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_N^{e_N}\).

A partir de estas propiedades y de las reglas descriptas anteriormente podemos, inmediatamente, deducir muchas otras reglas.

Por ejemplo, basándonos en la propiedad 6, podemos deducir que, como \(6 = \text{mcm}(2,3)\) un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3, que ya sabemos comprobar utilizando las dos primeras reglas de divisibilidad. El mismo razonamiento es el que determina que un número es divisible por 10 sólo si termina en 0.

Teniendo a mano estas reglas y propiedades, estamos en condiciones de comprobar divisibilidad de manera relativamente sencilla en nuestras aplicaciones prácticas.