Significado

Para el caso de polinomios de la variable “x”, dicha forma es: \(\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\) Donde el polinomio P(x) corresponde al numerador y el polinomio Q(x) al denominador, siempre con la condición Q(x)≠0, ya que la división por 0 no está definida.

Como ejemplos de fracciones algebraicas, es posible citar y analizar:

a) \(\frac{{x+5}}{{x-2}}\)

En este caso, P(x) = x+5 y Q(x) = x−2. Dado que Q(x) no puede ser igual a 0, esta fracción algebraica es válida para cualquier valor de x, excepto x = 2.

b) \(\begin{array}{l}\frac{{3x+4}}{{{{{(x-3)}}^{2}}}}\end{array}\)

Se observa que P(x) = 3x + 4 y Q(x) = (x−3)² con x ≠ 3.

c) \(\frac{{(x+1)(x-1)}}{{{{x}^{2}}-2x-8}}\)

Para el tercer ejemplo práctico, P(x) = (x+1)(x−1), Q(x) = x² − 2x − 8. Los ceros o raíces de Q(x) se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado:

x² − 2x − 8 = 0
x₁ = 4
x₂ = −2

Entonces la fracción es válida para todo valor real de x, salvo x₁ = 4 y x₂ = −2.

Simplificación de fracciones algebraicas

Muchas veces se obtiene una expresión algebraica que es necesario simplificar para trabajar más fácilmente, al igual que ocurre con las fracciones numéricas. Se simplifica o reduce cuando su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Entonces, el procedimiento para simplificar requiere factorizar tanto P(x) como Q(x) y luego cancelar el factor común.

La fracción algebraica resultante de la simplificación es equivalente a P(x)/Q(x), excepto para los valores que hacen 0 al factor común .

Ejemplo 1

Simplificar la siguiente expresión algebraica:

\(\frac{{5{{x}^{2}}-10x}}{{2x-4}}\)

Respuesta

Se factorizan P(x) y Q(x):

P(x) = 5×2 −10x = 5x(x − 2)
Q(x) = 2x − 4 = 2(x − 2)

Se sustituyen los polinomios ya factorizados y se cancela el factor común (x−2):

\(\frac{{5{{x}^{2}}-10x}}{{2x-4}}=\frac{{5x(x-2)}}{{2(x-2)}}=\frac{{5x}}{2}\)

La fracción reducida es válida para todos los valores de x, excepto x = 2.

Ejemplos de las operaciones con fracciones algebraicas

Comprenden el ejercicio de sumas, restas, productos y divisiones, así como operaciones combinadas de estas.

Suma y resta

El procedimiento general para sumar y restar es el siguiente:

– Reducir al máximo las fracciones que se van a sumar o restar.

– Si los denominadores de las fracciones son iguales, estos se conservan y se suman directamente los numeradores, obteniendo así el numerador de la fracción resultante. Luego se simplifica todo hasta donde sea posible.

– Si los denominadores son diferentes, primero hay que hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para obtener el denominador de la fracción resultante.

– Seguidamente dividir el mcm por el denominador de la primera fracción y multiplicar el cociente por su denominador. Este procedimiento se repite para cada sumando y el numerador resultante es la suma de todo lo que se obtenga con estas operaciones.

– Se simplifica el resultado de ser posible.

Ejemplo 2

Llevar a cabo las siguientes sumas y restas:

a) \(\frac{x}{{x+2}}+\frac{{x-1}}{{x+2}}\)

b) \(\frac{6}{{{{x}^{2}}}}+\frac{7}{{2x}}-\frac{5}{{3x}}\)

Respuesta a

Las fracciones son de igual denominador, por lo tanto este se conserva y se suman los numeradores, agrupando los términos semejantes:

\(\frac{x}{{x+2}}+\frac{{x-1}}{{x+2}}=\frac{{x+x-1}}{{x+2}}=\frac{{2x-1}}{{x+2}}\)

Respuesta b

En la suma:

\(\frac{6}{{{{x}^{2}}}}+\frac{7}{{2x}}-\frac{5}{{3x}}\)

Los denominadores son diferentes, por lo tanto hay que hallar el mcm de x2, 2x, 3x, para ello se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:

mcm (x2, 2x, 3x) = 6×2

La fracción resultante tendrá como denominador 6×2.

El siguiente paso es dividir el mcm entre el denominador y multiplicar el resultado por el numerador de la primera fracción:

6×2 ÷ x2 = 6
6×6 =36

Luego repetir este procedimiento con la segunda fracción:

6×2 ÷ 2x = 3x
3x ×7 = 21x

Y por último con la tercera:

6×2 ÷ 3x = 2x
2x × 5 = 10x

Los resultados de estas operaciones forman el numerador de la suma:

\(\frac{6}{{{{x}^{2}}}}+\frac{7}{{2x}}-\frac{5}{{3x}}=\frac{{36+21x-10x}}{{6{{x}^{2}}}}=\frac{{36+11x}}{{6{{x}^{2}}}}\)

La fracción obtenida es irreducible, por lo tanto es el resultado definitivo de la operación.

Multiplicación

Sean las expresiones algebraicas P(x)/Q(x) y R(x)/S(x), su producto viene dado por:

\(\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\times \frac{{R(x)}}{{S(x)}}=\frac{{P(x)\times R(x)}}{{Q(x)\times S(x)}}\)

El resultado se simplifica siempre que sea posible.

Ejemplo 3

Efectuar el siguiente producto:

\(\frac{{5{{x}^{2}}}}{{16}}\cdot \frac{4}{x}\)

Respuesta

Obsérvese que el 4 en el numerador se simplica con el 16 en el denominador, por su parte la literal x2 en el numerador se simplifica con la x del denominador, para finalmente obtener:

\(\frac{{5{{x}^{2}}}}{{16}}\cdot \frac{4}{x}=\frac{{5x}}{4}\)

División

El procedimiento es análogo al que se sigue para los números racionales, es decir, hay que multiplicar la primera expresión por el inverso o recíproco del divisor.

Sean las expresiones algebraicas P(x)/Q(x) y R(x)/S(x), entonces, el cociente entre ambas es:

\(\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\div \frac{{R(x)}}{{S(x)}}=\frac{{P(x)\times S(x)}}{{Q(x)\times R(x)}}\)

Como siempre, el resultado se simplifica al máximo.

Ejemplo 4

Efectuar el siguiente cociente:

\(\frac{{35{{x}^{3}}}}{{18{{y}^{3}}}}\div \frac{{14x{{y}^{2}}}}{{9{{y}^{3}}}}\)

Respuesta

Se debe multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor:

\(\frac{{35{{x}^{3}}}}{{18{{y}^{3}}}}\div \frac{{14x{{y}^{2}}}}{{9{{y}^{3}}}}=\frac{{35{{x}^{3}}}}{{18{{y}^{3}}}}\times \frac{{9{{y}^{3}}}}{{14x{{y}^{2}}}}=\frac{{35{{x}^{2}}}}{{28{{y}^{2}}}}\)

Operaciones combinadas

Las operaciones con fracciones algebraicas se pueden combinar de muchas formas.

Ejemplo 5

Realizar la siguiente operación:

\(\frac{{2x}}{{x+1}}\div \left( {\frac{{2x}}{{x+1}}-1} \right)\)

Respuesta

Hay que efectuar primero la suma que está indicada entre paréntesis:

\(\frac{{2x}}{{x+1}}-1=\frac{{2x}}{{x+1}}-\frac{{x+1}}{{x+1}}=\frac{{2x-(x+1)}}{{x+1}}=\frac{{x-1}}{{x+1}}\)

Una vez hecho esto, se sustituye el resultado en la expresión original:

\(\frac{{2x}}{{x+1}}\div \left( {\frac{{x-1}}{{x+1}}} \right)=\frac{{2x}}{{x+1}}\times \left( {\frac{{x+1}}{{x-1}}} \right)=\frac{{2x}}{{x-1}}\)