Significado de fracciones algebraicas Definición, y ejemplos

Fanny Muradas
Licenciada en Física

Definición formal

Las fracciones algebraicas tienen la forma del cociente entre dos expresiones polinómicas.

Para el caso de polinomios de la variable “x”, dicha forma es: \(\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\) Donde el polinomio P(x) corresponde al numerador y el polinomio Q(x) al denominador, siempre con la condición Q(x)≠0, ya que la división por 0 no está definida.

Como ejemplos de fracciones algebraicas, es posible citar y analizar:

a) \(\frac{{x+5}}{{x-2}}\)

En este caso, P(x) = x+5 y Q(x) = x−2. Dado que Q(x) no puede ser igual a 0, esta fracción algebraica es válida para cualquier valor de x, excepto x = 2.

b) \(\begin{array}{l}\frac{{3x+4}}{{{{{(x-3)}}^{2}}}}\end{array}\)

Se observa que P(x) = 3x + 4 y Q(x) = (x−3)2 con x ≠ 3.

c) \(\frac{{(x+1)(x-1)}}{{{{x}^{2}}-2x-8}}\)

Para el tercer ejemplo práctico, P(x) = (x+1)(x−1), Q(x) = x2 − 2x − 8. Los ceros o raíces de Q(x) se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado:

x2 − 2x − 8 = 0
x1 = 4
x2 = −2

Entonces la fracción es válida para todo valor real de x, salvo x1 = 4 y x2 = −2.

Simplificación de fracciones algebraicas

Muchas veces se obtiene una expresión algebraica que es necesario simplificar para trabajar más fácilmente, al igual que ocurre con las fracciones numéricas. Se simplifica o reduce cuando su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Entonces, el procedimiento para simplificar requiere factorizar tanto P(x) como Q(x) y luego cancelar el factor común.

La fracción algebraica resultante de la simplificación es equivalente a P(x)/Q(x), excepto para los valores que hacen 0 al factor común .

Ejemplo 1

Simplificar la siguiente expresión algebraica:

\(\frac{{5{{x}^{2}}-10x}}{{2x-4}}\)

Respuesta

Se factorizan P(x) y Q(x):

P(x) = 5×2 −10x = 5x(x − 2)
Q(x) = 2x − 4 = 2(x − 2)

Se sustituyen los polinomios ya factorizados y se cancela el factor común (x−2):

\(\frac{{5{{x}^{2}}-10x}}{{2x-4}}=\frac{{5x(x-2)}}{{2(x-2)}}=\frac{{5x}}{2}\)

La fracción reducida es válida para todos los valores de x, excepto x = 2.

Ejemplos de las operaciones con fracciones algebraicas

Comprenden el ejercicio de sumas, restas, productos y divisiones, así como operaciones combinadas de estas.

Suma y resta

El procedimiento general para sumar y restar es el siguiente:

– Reducir al máximo las fracciones que se van a sumar o restar.

– Si los denominadores de las fracciones son iguales, estos se conservan y se suman directamente los numeradores, obteniendo así el numerador de la fracción resultante. Luego se simplifica todo hasta donde sea posible.

– Si los denominadores son diferentes, primero hay que hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para obtener el denominador de la fracción resultante.

– Seguidamente dividir el mcm por el denominador de la primera fracción y multiplicar el cociente por su denominador. Este procedimiento se repite para cada sumando y el numerador resultante es la suma de todo lo que se obtenga con estas operaciones.

– Se simplifica el resultado de ser posible.

Ejemplo 2

Llevar a cabo las siguientes sumas y restas:

a) \(\frac{x}{{x+2}}+\frac{{x-1}}{{x+2}}\)

b) \(\frac{6}{{{{x}^{2}}}}+\frac{7}{{2x}}-\frac{5}{{3x}}\)

Respuesta a

Las fracciones son de igual denominador, por lo tanto este se conserva y se suman los numeradores, agrupando los términos semejantes:

\(\frac{x}{{x+2}}+\frac{{x-1}}{{x+2}}=\frac{{x+x-1}}{{x+2}}=\frac{{2x-1}}{{x+2}}\)

Respuesta b

En la suma:

\(\frac{6}{{{{x}^{2}}}}+\frac{7}{{2x}}-\frac{5}{{3x}}\)

Los denominadores son diferentes, por lo tanto hay que hallar el mcm de x2, 2x, 3x, para ello se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:

mcm (x2, 2x, 3x) = 6×2

La fracción resultante tendrá como denominador 6×2.

El siguiente paso es dividir el mcm entre el denominador y multiplicar el resultado por el numerador de la primera fracción:

6×2 ÷ x2 = 6
6×6 =36

Luego repetir este procedimiento con la segunda fracción:

6×2 ÷ 2x = 3x
3x ×7 = 21x

Y por último con la tercera:

6×2 ÷ 3x = 2x
2x × 5 = 10x

Los resultados de estas operaciones forman el numerador de la suma:

\(\frac{6}{{{{x}^{2}}}}+\frac{7}{{2x}}-\frac{5}{{3x}}=\frac{{36+21x-10x}}{{6{{x}^{2}}}}=\frac{{36+11x}}{{6{{x}^{2}}}}\)

La fracción obtenida es irreducible, por lo tanto es el resultado definitivo de la operación.

Multiplicación

Sean las expresiones algebraicas P(x)/Q(x) y R(x)/S(x), su producto viene dado por:

\(\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\times \frac{{R(x)}}{{S(x)}}=\frac{{P(x)\times R(x)}}{{Q(x)\times S(x)}}\)

El resultado se simplifica siempre que sea posible.

Ejemplo 3

Efectuar el siguiente producto:

\(\frac{{5{{x}^{2}}}}{{16}}\cdot \frac{4}{x}\)

Respuesta

Obsérvese que el 4 en el numerador se simplica con el 16 en el denominador, por su parte la literal x2 en el numerador se simplifica con la x del denominador, para finalmente obtener:

\(\frac{{5{{x}^{2}}}}{{16}}\cdot \frac{4}{x}=\frac{{5x}}{4}\)

División

El procedimiento es análogo al que se sigue para los números racionales, es decir, hay que multiplicar la primera expresión por el inverso o recíproco del divisor.

Sean las expresiones algebraicas P(x)/Q(x) y R(x)/S(x), entonces, el cociente entre ambas es:

\(\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\div \frac{{R(x)}}{{S(x)}}=\frac{{P(x)\times S(x)}}{{Q(x)\times R(x)}}\)

Como siempre, el resultado se simplifica al máximo.

Ejemplo 4

Efectuar el siguiente cociente:

\(\frac{{35{{x}^{3}}}}{{18{{y}^{3}}}}\div \frac{{14x{{y}^{2}}}}{{9{{y}^{3}}}}\)

Respuesta

Se debe multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor:

\(\frac{{35{{x}^{3}}}}{{18{{y}^{3}}}}\div \frac{{14x{{y}^{2}}}}{{9{{y}^{3}}}}=\frac{{35{{x}^{3}}}}{{18{{y}^{3}}}}\times \frac{{9{{y}^{3}}}}{{14x{{y}^{2}}}}=\frac{{35{{x}^{2}}}}{{28{{y}^{2}}}}\)

Operaciones combinadas

Las operaciones con fracciones algebraicas se pueden combinar de muchas formas.

Ejemplo 5

Realizar la siguiente operación:

\(\frac{{2x}}{{x+1}}\div \left( {\frac{{2x}}{{x+1}}-1} \right)\)

Respuesta

Hay que efectuar primero la suma que está indicada entre paréntesis:

\(\frac{{2x}}{{x+1}}-1=\frac{{2x}}{{x+1}}-\frac{{x+1}}{{x+1}}=\frac{{2x-(x+1)}}{{x+1}}=\frac{{x-1}}{{x+1}}\)

Una vez hecho esto, se sustituye el resultado en la expresión original:

\(\frac{{2x}}{{x+1}}\div \left( {\frac{{x-1}}{{x+1}}} \right)=\frac{{2x}}{{x+1}}\times \left( {\frac{{x+1}}{{x-1}}} \right)=\frac{{2x}}{{x-1}}\)

 
 
 
 
Por: Murades, Fanny. Título de licenciatura en Física por la Universidad Central de Venezuela, en la opción de Física Experimental.

Trabajo publicado en: Ene., 2021.
Datos para citar en modelo APA: Murades, Fanny (enero, 2021). Significado de Fracciones Algebraicas. Significado.com. Desde https://significado.com/fracciones-algebraicas/
 
 
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