Significado de nros irracionales (número pi, euler, y Áureo) Definición, y fórmulas
Licenciada en Física
Definición formal
Los números irracionales constituye un subconjunto de los números reales, segmentando aquellos que no se derivan del cociente entre números enteros y, por lo tanto, no se expresan como una fracción.
La forma decimal de un número irracional es infinita y no periódica, es decir, no posee una cifra o grupo de ellas que se repita cíclicamente, y la secuencia de números que lo componen es infinita. Al conjunto de los números irracionales se le suele denotar con la letra I, procurando siempre no confundirlos con los números imaginarios, que empiezan con la misma letra. Como ejemplos, es posible listar:
.El número pi (π), que surge naturalmente al medir la longitud de una circunferencia
.Raíces cuadradas no exactas, como √2, √3 y muchas otras más
.El número “e”, base de los logaritmos naturales o logaritmos neperianos
.Raíces cúbicas, cuartas, quintas y más, siempre que no sean exactas
.El número áureo Φ
.Los números de Liouville
Tómese por ejemplo la cifra √3 = 1.7320508… , los puntos suspensivos significan que los decimales prosiguen indefinidamente y se observa que nunca se encuentra algún dígito o grupo de dígitos que se repita periódicamente. Por lo tanto √3 es un número irracional.
Se dice que los matemáticos de la escuela pitagórica de finales del siglo V aC, en la Grecia antigua, se encontraron con los números irracionales, al percatarse de que no existía un par de números naturales a y b, cuyo cociente igualara al cociente entre el lado de un cuadrado y su respectiva diagonal.
Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 2 vale 2∙√2, y el cociente entre el lado y la diagonal es 1/√2, que es precisamente un número irracional: 0.707106781…. A los segmentos con estos valores no enteros se les llamó “inconmesurables”, pues los antiguos matemáticos solo reconocían números enteros. Con el tiempo, estos números inconmensurables pasaron a llamarse irracionales, en contraposición a los racionales.
El número Pi (π)
Uno de los números irracionales más famoso es π, cuyo valor aproximado es 3.14159265… Aparece naturalmente en la geometría euclidiana al medir la longitud C de una circunferencia, la cual es proporcional a su diámetro D, siendo π la constante de proporcionalidad:
\(\frac{C}{D}=\pi\)
Los matemáticos del antiguo Egipto conocieron el valor aproximado de π. Luego Arquímedes, el famoso sabio del siglo III aC, determinó que π se encuentra entre los números \(3{\scriptstyle{}^{10}\!\!\diagup\!\!{}_{71}\;}\) y \(3{\scriptstyle{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{7}\;}\), un margen que fue reduciéndose con el tiempo, ya que se han encontrado aproximaciones cada vez más precisas de π gracias a las computadoras. Hoy en día se conoce su valor con nada menos que 31.4 billones de dígitos.
El número π aparece con frecuencia en muchas ramas de la ciencia, aparte de la geometría, como por ejemplo en cálculo, física y probabilidad.
Además de la circunferencia, el número π se puede determinar de muchas otras maneras, por ejemplo a través de esta sumatoria que se debe al famoso matemático Gottfried Leibniz (1646-1716):
\(\frac{\pi }{4}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{2n+1}}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…\)
El número de Euler
El número de Euler o número “e” vale aproximadamente 2.718281828… y es la base de los logaritmos naturales o logaritmos neperianos. El matemático escocés John Napier, creador de estos logaritmos, lo menciona en sus trabajos de 1618 aunque fue el suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien lo bautizó como número “e”.
Hay varias maneras de obtener el número e, una de ellas es a partir de la sumatoria:
\(e=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{n!}}\)
En efecto:
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{n!}}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+…=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+…=2.71828…\)
Donde n! = n ∙ (n-1) ∙ (n-2) ∙ (n-3)… y 0! = 1 por definición.
Mientras más valores de n se tomen en cuenta en la suma, más se acerca el resultado a e = 2.718281828…
Es curioso que dos de los números más famosos de la ciencia, e y π, estén relacionados de una manera muy simple en la denominada identidad de Euler:
eπi + 1 = 0
En ella aparece también “i”, la unidad imaginaria definida como:
\(i=\sqrt{-1}\)
El número Áureo Φ
Este interesante número irracional, estudiado por Euclides, aparece al dividir un segmento AB en dos partes desiguales. El segmento mayor y el menor están en la misma proporción que el segmento completo AB y el segmento menor:
\(\frac{AC}{CB}=\frac{AB}{AC}\)
Que también se puede escribir como:
\(\frac{AC}{CB}=\frac{AC+CB}{AC}\)
Suponiendo que AC = x y CB = 1, se cumple que:
AC2 = CB ∙ (AC + CB) → x2 = x + 1
¿Cuál es el valor de “x”? La proporción da lugar a una ecuación de segundo grado, que se resuelve fácilmente con la fórmula general:
x2 − x − 1= 0
Escogiendo la solución positiva de la ecuación, como corresponde a la longitud de un segmento:
x = 1.618033989…
Que alternativamente se expresa como:
\(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Este es el valor del número de oro o número áureo Φ, el cual aparece con mucha frecuencia en las proporciones de numerosas obras de arte y monumentos, incluyendo a la Gran Pirámide de Giza y el Partenón de Atenas, según algunos autores, si bien no todos los matemáticos concuerdan con este hecho.
Clasificación de los números irracionales
Hay dos clases de números irracionales, según su origen:
.Algebraicos
.Trascendentes
Los números irracionales de tipo algebraico surgen de las soluciones de ecuaciones polinomiales de la forma general:
\({{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+…+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0\)
Donde an, an−1, an−2 …a0 son todos coeficientes enteros.
Un ejemplo de esta clase de ecuación es:
\({{x}^{2}}-18=0\)
La cual admite dos soluciones:
\({{x}_{1}}=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}\)
Y
\({{x}_{2}}=-3\sqrt{2}\)
Ambos valores son números irracionales.
En cambio, los irracionales trascendentes nunca son soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros. Entre ellos destacan el número π, el número “e” o número de Euler y los números de Liouville.
Los números irracionales algebraicos son fáciles de determinar, pero tal vez los trascendentes no lo sean tanto, pues es necesario probar que no constituyen solución de alguna ecuación polinomial de coeficientes enteros.
Trabajo publicado en: Mar., 2021.