Significado de Sucesión de Fibonacci Definición, Problema de los Conejos, y el Nro Irracional Áureo

Definición formal

La Sucesión de Fibonacci es una serie de números que se consiguen a partir de la operación de suma de los dos anteriores. La serie comienza con 0 y 1, denominados a0 y a1 respectivamente, sumándose para obtener el tercer elemento, que es a2.

Matemáticamente hablando, se expresa y plantea

a2 = 0 + 1 = 1

Para obtener el siguiente término se suma este resultado con su predecesor

a3 = 1 + 1 = 2

Y el procedimiento se repite de manera indefinida

a4 = 1 + 2 = 3
a5 = 2 + 3 = 5
a6 = 3 + 5 = 8
a7 = 5 + 8 = 13
a8 = 8 + 13 = 21

De esta manera se conforma la siguiente sucesión numérica, compuesta por los números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

El nombre se debe al matemático italiano de la Edad Media Leonardo de Pisa (1170-1250), al que se conocía también como Fibonacci. Fue el matemático más notable de su época, una en la cual el comercio comenzó a florecer, sobre todo en Italia.

Durante su juventud, Fibonacci viajó al norte de África junto a su padre, un funcionario de aduanas, donde adquirió grandes conocimientos de los matemáticos islámicos. Posiblemente escuchó hablar de la sucesión durante estos viajes, pues la menciona como una curiosidad en el primero de los libros que escribió acerca de la matemática de su tiempo, llamado Liber Abaci o Libro del Ábaco.

Fibonacci tiene el mérito de haber introducido en Europa la numeración indoarábiga, realizando un arduo trabajo para demostrar a todos la facilidad de operación del nuevo sistema, por encima de la numeración romana a base de letras, que era el sistema en uso en la Europa medieval. No fue una tarea fácil, pues incluso los números fueron prohibidos en algunas partes.

El problema de los conejos

En su Libro del Ábaco, Fibonacci cuenta acerca de una hipotética pareja de conejos, cuya reproducción da origen a los números de la serie. El mismo Leonardo no dio mucha importancia al problema, pero la anécdota llamó la atención de muchos pensadores posteriores.

El problema dice así:

“Unos granjeros tienen en un corral una pareja de conejos recién nacidos, de distinto sexo, los cuales alcanzan su madurez reproductiva al cabo de 1 mes exactamente.

Cuando termina el segundo mes, han procreado otra pareja de conejos, también de diferente sexo, y así prosiguen teniendo una nueva camada al final de cada mes.

Ningún conejo muere, y cada una de las parejas nacidas de la original, madurará a su vez al cabo de 1 mes, y traerán al mundo un nuevo par de conejos de distinto sexo al cabo del siguiente mes.

¿Cuántos conejos habrá al cabo de 1 año?”

La solución del acertijo es:

Antes de finalizar el 1er mes: 1 pareja, ya que aún no son fértiles.

Durante el 2do mes: todavía hay 1 pareja, porque los hijos nacen justo al finalizar el segundo mes.

En el 3er mes: 2 parejas (la original y su primera camada recién nacida)

Por el 4to mes: 3 parejas (la original, más su primera y segunda camada, ya que la primera camada aún no es fértil).

Hacia el 5to mes: 5 parejas (la pareja original más su nueva camada del mes, el primero y el segundo par de la pareja original, más el primer par de la primera camada).

Siguiendo con los cálculos, para el 6to mes, están las 5 parejas del mes anterior, el nuevo par de la pareja original, el siguiente par de la primera camada y el primer par de la segunda camada de la pareja original, que son fértiles por vez primera. En total son 5 + 3 = 8 parejas.

Para el siguiente mes, el 7to, se suman estas 8 parejas más las nuevas parejas nacidas y así para cada mes hasta completar todo el año. La solución del problema resulta ser la sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

Fórmulas

Se podría seguir contando conejos de esta forma, lo cual lleva a la fórmula para calcular el término n-ésimo, que consiste en sumar los dos anteriores:

an+1 = an + an-1

El índice n = 1, 2, 3, 4, 5, 6… representa al mes en curso y los términos que siguen son:

a8 = 8 + 13 = 21, a9 = 34, a10 = 55, a11 = 89, a12 = 144, a13 = 233

Al transcurrir 1 año, es decir, comenzando el mes 13, hay 233 parejas de conejos en el corral.

Nótese que esta fórmula requiere conocer los dos términos anteriores al que se desea calcular, pero si estos no se conocieran, hay otra fórmula para determinarlo:

\({{a}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{{\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{n}}-\frac{1}{\sqrt{5}}{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{n}}\)

Con esta fórmula, la solución al problema de los conejos se obtiene haciendo n = 13:

\({{a}_{13}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{13}}-~\frac{1}{\sqrt{5}}{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{13}}\approx 233\)

El número irracional áureo en el marco de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci consta de números naturales, pero el número irracional Φ (phi), llamado número áureo o número de oro, dado por

\(\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339\ldots\)

Está relacionado con la sucesión, como se pudo observar de la fórmula para calcular el término n-ésimo.

Sucede que siempre que n sea muy grande, es decir tienda a ∞, se puede demostrar que el cociente entre el término an+1 y el que le precede an, tiende a precisamente a Φ. Esta es, tal vez, la propiedad más curiosa de la sucesión de Fibonacci.

También, es notable el hecho de que los números en la sucesión de Fibonacci, así como el número áureo, aparecen en forma espontánea en la naturaleza. Por ejemplo, la cantidad de pétalos de las margaritas y los girasoles siempre es alguno de los números de Fibonacci y algunos árboles disponen sus hojas siguiendo los valores de la sucesión.

En cuanto al número aúreo, muchos expertos aseguran que las personas se inclinan hacia los objetos en cuyas proporciones aparece este valor, como el Partenón de Atenas y las obras de Leonardo Da Vinci.