Ángel Zamora Ramírez
Licenciado en Física

Números Reales

Los números reales son el conjunto resultado de la unión entre los números racionales y los irracionales, de modo tal que incluye en sí a otros grupos como los números naturales y los enteros. En términos simples, podemos decir que los números reales son los números que todos nosotros conocemos y usamos cotidianamente. Pueden ser representados como puntos a lo largo de toda la recta real, hay una cantidad infinita de estos y se identifican por el símbolo \(\mathbb{R}\).

Conformación de los números reales

Como ya se mencionó, el conjunto de números reales está conformado por varios subconjuntos de números, entre los que se comprenden:

• Números naturales (\(\mathbb{N}\)): Como su nombre lo indica, son los primeros números que se utilizaron y los primeros que aprendemos. Son aquellos números enteros mayores que 0, es decir, \(\mathbb{N} = \left\{ {1,\;2,\;3,\; \ldots } \right\}\).

• Números enteros (\(\mathbb{Z}\)): Es un conjunto de números no decimales que incluye a los números naturales, así como los números enteros negativos y al 0. Este conjunto es \(\mathbb{Z} = \left\{ { \ldots ,\; – 3,\; – 2,\; – 1,\;0,\;1,\;2,\;3,\; \ldots } \right\}\)

• Números racionales (\(\mathbb{Q}\)): Son todos aquellos números que pueden ser escritos como una fracción de números enteros, por ejemplo, \(1/2\). El resultado de estas fracciones puede ser un número entero o un número decimal finito. Este conjunto se representa como \(\mathbb{Q}\).

• Número irracionales (\(\mathbb{I}\)): Como su propio nombre lo muestra, son los números opuestos a los números racionales, es decir, números que no pueden ser representados como una fracción de números enteros. Este conjunto se representa como \(\mathbb{I}\) y algunos ejemplos de estos son el número \(\pi \), \(\sqrt 2 \) y el número \(\phi \).

Propiedades de los números reales

Como todo conjunto, los números reales satisfacen varias propiedades matemáticas. Estas son:

• Cierre o Cerradura: Esta propiedad implica que la suma o multiplicación entre dos números reales da como resultado otro número real. Esto se puede expresar como: Sean \(a,b \in \mathbb{R}\), sí tenemos que \(m = a + b\) y \(n = ab\), entonces \(m,n \in \mathbb{R}\), esto para cualesquiera números reales. Por ejemplo, tomemos los números 3 y 5.7 que pertenecen a los números reales. La suma entre estos nos da como resultado el número 8.7 el cual también es un número real. Lo mismo sucede al multiplicarlos, el resultado 17.1 también es un número real.

• Conmutatividad: Esta propiedad nos indica que el resultado de una suma o multiplicación entre números reales es el mismo independientemente del orden de los factores. Es decir que: \(a + b = b + a\) y \(ab = ba\) con \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Pongamos un ejemplo, sumemos y multipliquemos los números 10.1 y 6.4. Al sumarlos podemos percatarnos de que \(10.1 + 6.4 = 6.4 + 10.1 = 16.5\). Lo mismo sucede al multiplicarlos: \(10.1*6.4 = 6.4*10.1 = 64.64\).

• Asociatividad: Esta propiedad es parecida a la conmutatividad, establece que en una suma o multiplicación entre tres o más números naturales se obtiene el mismo resultado independientemente del orden en que se agrupen los factores. Esto quiere decir que: \(a + \left( {b + c} \right) = \left( {a + b} \right) + c = b + \left( {a + c} \right)\) y \(a\left( {bc} \right) = \left( {ab} \right)c = b\left( {ac} \right)\), para \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Para visualizar esto tomemos los números 5, 7.9 y – 4.6. Sumemos estos tres números en distinto orden: \(5 + \left( {7.9 – 4.6} \right) = \left( {5 + 7.9} \right) – 4.6 = 7.9 + \left( {5 – 4.6} \right) = 8.3\). Ahora hagamos lo mismo, pero multiplicándolos: \(5*\left( {7.9*\left( { – 4.6} \right)} \right) = \left( {5*7.9} \right)*\left( { – 4.6} \right) = 7.9*\left( {5*\left( { – 4.6} \right)} \right) = – 181.7\). En ambos casos el resultado es el mismo independientemente del orden en que se hagan las operaciones.

• Distributiva: Como su nombre lo indica, esta propiedad nos dice que, si tenemos un enunciado matemático que consista en un producto entre un número natural y una suma o resta de entre dos o más números naturales, el multiplicando se distribuye y el resultado final será la suma de los productos. En otras palabras: \(a\left( {b + c} \right) = ab + ac\). Lo mismo sucede con la resta: \(a\left( {b – c} \right) = ab + ac\). Esto con \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Veamos esto tomando los números 6, 8.5 y – 5.4 como ejemplo. Elijamos uno de estos números como el multiplicando, por ejemplo, el 6. Ahora multiplicaremos por 6 la suma entre los otros dos números y aplicaremos la propiedad distributiva: \(6*\left( {8.5 – 5.4} \right) = 6*8.5 – 6*5.4 = 18.6\). El resultado que se obtiene el distribuir el multiplicando es el mismo que el que se obtiene al no hacerlo.

• Identidades de los reales: El conjunto de los reales cuenta con elementos identidad o elementos neutros. Una identidad es aquel elemento perteneciente a un conjunto tal que al realizar una operación entre este y otro elemento del conjunto, da como resultado este mismo elemento. La identidad de la suma del conjunto de los reales es el número 0 y la identidad multiplicativa es el número 1. Esto es así ya que \(a + 0 = a\) y , esto para cualquier \(a \in \mathbb{R}\). Es fácil visualizar esto con cualquier número real, por ejemplo, el 3.3. Si a este número le sumamos 0 nos dará como resultado el mismo número: \(3.3 + 0 = 3.3\). Lo mismo sucede si ahora multiplicamos este mismo número por 1: \(3.3*1 = 3.3\).

Por: Ángel Zamora Ramírez. Licenciado en Física egresado de la Universidad de Colima. Maestro en Ciencias en Ingeniería y Física Biomédicas egresado del CINVESTAV. Amante de la divulgación científica.

Art. actualizado: Mayo 2023; sobre el original de junio, 2016.

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