Significado de números reales Definición, clasificación, y propiedades
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Doctor en Ingeniería
Definición formal
Un número real es un valor que puede cuantificar cualquier distancia entre dos puntos reconocidos sobre una recta.
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Básicamente, dado un punto en la recta real, no nos podemos mover mediante ninguna operación numérica a otro punto de la recta que no sea, específicamente, un número real.
El término «reales» tiene el propósito original de distinguir a estos números de las raíces «imaginarias» de un polinomio. De este modo, los números comprendidos en \(\mathbb{R}\) agrupa el espectro de los racionales, del cual se desprenden los naturales y enteros, y por el otro lado, se identifican los irracionales, tal como lo ilustra la figura principal de la nota y como lo explicamos en las próximas líneas.
Clasificación: Naturales
El primer conjunto de números que aprendemos de pequeños, es el conjunto de los números naturales, 1, 2, 3, 4, … . Suponiendo que conocemos de antemano el concepto de suma (lo que es hacer un poco de trampa) este conjunto puede definirse como \(\mathbb{N} \doteq \{1\}\cup\{n+1,\; \forall n\in \mathbb{N}\}\). Esto quiere decir que \(\mathbb{N}\) es el conjunto que contiene al 1, y a todo elemento que se pueda obtener sumando 1 a otro elemento del conjunto.
Sobre el conjunto de los números naturales está definida entonces la suma, y puede demostrarse por inducción que si sumamos dos números naturales, obtenemos otro número natural. Pero ¿qué pasa si queremos resolver la siguiente ecuación?
x + 2 = 1
Clasificación: Enteros
La ecuación anterior no tiene solución en los números naturales, y es por eso que agregamos los números negativos y el cero para formar los números enteros \(\mathbb{Z} \doteq \mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{-n,\; \forall n\in\mathbb{N}\} = \{\ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\). Ahora podemos restar tranquilos, que siempre nos vamos a mantener dentro de \(\mathbb{Z}\).
Pero nos gustaría definir también el producto. Y si bien es cierto que el producto de dos números enteros da como resultado un número entero, nos encontramos con que la ecuación
2x = 3
no tiene solución en \(\mathbb{Z}\).
Clasificación: Racionales
Entonces, es hora de volver a ampliar nuestro conjunto, y definir los números racionales \(\mathbb{Q} \doteq \{\frac{p}{q}, \,\forall p, q\in\mathbb{Z}, q\neq 0\}\). Es decir, todos los números que pueden escribirse como cociente de dos números enteros.
Pero todavía falta la potenciación. Y cuando nos damos cuenta de que la ecuación
x2 = 2
no tiene solución en \(\mathbb{Q}\), es que nos damos cuenta de que tiene que haber algo más: los números irracionales \(\mathbb{I}\), que junto a \(\mathbb{Q}\) conforman los números reales.
Propiedades de los Números Reales
Las propiedades básicas de los números reales son las siguientes:
1. \(\mathbb{R}\) es un conjunto ordenado, por lo que dados \(x, y, z \in \mathbb{R}\) cualesquiera, se cumplen:
A) Reflexividad: \(x\leq x\) .
B) Transitividad: Si \(x\leq y\) y \(y\leq z\), entonces \(x\leq z\) .
C) Antisimetría: Si \(x\leq y\) y \(y\leq x\) entonces x=y .
D) Completitud: \(x\leq y\) o \(y\leq x\) .
2. La suma y el producto son cerrados. Es decir, siempre \(x+y\in\mathbb{R}\) , \(xy\in\mathbb{R}\) .
3. Potencia del Continuo: No se puede establecer una biyección entre los números reales y los naturales. En otras palabras, no se puede hacer una lista infinita con todos los números reales: son «más infinitos» que los naturales.
4. \(\mathbb{R}\) es completo como espacio métrico: Es decir que toda sucesión de Cauchy (sucesión cuyos elementos están cada vez más cerca) converge a un límite.
\end{enumerate}
Números complejos
Así como vimos que la imposibilidad de resolver 2x = 3 en \(\mathbb{Z}\) justifica la creación de \(\mathbb{Q}\), existe otro conjunto de números más grande, que contiene a \(\mathbb{R}\) y permite resolver
x2 = -2
Se llaman números complejos, \(\mathbb{C}\), e incorporan la unidad imaginaria i, que cumple i2 = -1. Estos números tienen la forma \(x+iy\), \(x, y \in\mathbb{R}\), y ya no se ubican en la recta, sino en el plano, donde la primera coordenada representa la componente real x, y la segunda coordenada la componente imaginaria y.
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Trabajo publicado en: Feb., 2021.