Definición de Conjunto, en Matemáticas

Ángel Zamora Ramírez
Licenciado en Física

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de distintos elementos que tienen características o propiedades en común y que pueden operar entre sí. Debido a su naturaleza, un conjunto se considera un objeto matemático por sí mismo. Por extensión se aplica en múltiples ámbitos, y grados de complejidad.

Los números reales, un grupo de personas pertenecientes a una población, una base de datos de una empresa, etc. Todos estos son ejemplos de colecciones de distintos elementos que se pueden considerar como conjuntos matemáticos. Los conjuntos forman parte de nuestra vida diaria y entenderlos en algunos casos es fundamental para comprender otros fenómenos.

Representación de conjuntos

Los conjuntos en matemáticas generalmente se representan con letras mayúsculas o con otra clase símbolos. Supongamos que tenemos un conjunto \(A\) conformado por una colección de \(n\) elementos denotados como: \({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}\). El conjunto \(A\) se representa entonces como:

\(A = \left\{ {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}} \right\}\)

Por ejemplo, si el conjunto \(A\) estuviera conformado por los números naturales del 1 al 9 se representaría como:

\(A = \left\{ {1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9} \right\}\)

Esta es la manera general en la que se representan los conjuntos. Sin embargo, hay conjuntos muy extensos o muy conocidos que se representan de formas más simplificadas. Un ejemplo de esto son los conjuntos numéricos.

Conjuntos numéricos

Los números en matemáticas se pueden agrupar en distintos conjuntos dependiendo de algunas características que compartan entre sí. Los principales conjuntos numéricos son:

– Números naturales: Representado como \(\mathbb{N}\), este conjunto está formado por todos los números enteros mayores a 0. Dicho de otra manera, son todos los números que nos sirven para contar. Este conjunto es entonces:

\(\mathbb{N} = \left\{ {1,\;2,\; \ldots ,\infty \;} \right\}\)

– Números enteros: Este conjunto, representado como \(\mathbb{Z}\), se conforma por los números naturales, el cero y la contraparte negativa de los números naturales, es decir que:

\(\mathbb{Z} = \left\{ { – \infty , \ldots , – \;2,\; – 1,\;0,\;1,\;2,\; \ldots ,\infty } \right\}\)

– Números racionales: Expresado como \(\mathbb{Q}\), este conjunto lo componen todos los números que pueden ser expresados como una división, o razón, entre números enteros. O bien, dicho matemáticamente:

\(\mathbb{Q} = \left\{ {q = \frac{a}{b}\;:a,b \in \mathbb{Z}\;,\;b \ne 0} \right\}\)

– Números irracionales: Como su nombre lo dice, son los números que, contrario a los racionales, no pueden ser expresados como una división entre números enteros. Este conjunto se puede denotar como \({\mathbb{Q}^*}\). Algunos ejemplos de números irracionales son \(\sqrt 2 ,\;\pi ,\;e\).

– Números reales: El conjunto de los números reales resulta de la unión entre los números racionales e irracionales. Este conjunto se representa como \(\mathbb{R}\) y de manera general involucra a todos los números que conocemos y manejamos. Se puede decir que:

\(\mathbb{R} = \left\{ {n\;:n \in \left( { – \infty ,\infty } \right)} \right\}\)

– Números imaginarios: Este conjunto se conforma de aquellos números que resultan del producto entre un número real y la unidad imaginaria \(i = \sqrt { – 1} \). Podemos representar esto como:

\({\rm{{\rm I}}} = \left\{ {ai\;:a \in \mathbb{R}} \right\}\)

– Números complejos: Representado como \(\mathbb{C}\), este conjunto está formado por todos los números que tienen una parte real y una parte imaginaria. Se puede decir que este es el principal conjunto numérico ya que contiene a todos los mencionados anteriormente. Se tiene entonces que:

\(\mathbb{C} = \left\{ {a + bi\;:a,b \in \mathbb{R}} \right\}\)

Operaciones con conjuntos

Como cualquier objeto matemático, los conjuntos pueden operar entre sí de distintas maneras. Existen diversas operaciones que se pueden hacer entre conjuntos, estas operaciones son:

– Unión: La unión entre dos conjuntos \(A\) y \(B\) es un nuevo conjunto conformado por todos aquellos elementos que se encuentran al menos en alguno de los dos conjuntos. Como su nombre lo dice, la unión es prácticamente juntar ambos conjuntos. Esto se representa como:

\(A \cup B = {\rm{\{ }}n\;{\rm{|}}\;n \in A \vee n \in B\} \)

Un ejemplo de esto es el conjunto de los números reales que resulta de la unión entre los números racionales e irracionales.

\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup {\mathbb{Q}^*}\)

O el conjunto de los números complejos que es la unión entre los números reales y los números imaginarios.

\(\mathbb{C} = \mathbb{R} \cup {\rm{{\rm I}}}\)

– Intersección: Contario a la unión, la intersección entre dos conjuntos se compone de todos aquellos elementos que se encuentran en ambos conjuntos. Es decir que:

\(A \cap B = {\rm{\{ }}n\;{\rm{|}}\;n \in A \wedge n \in B\} \)

– Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos \(A\) y \(B\) se define como el conjunto conformado por todos aquellos elementos que pertenecen al conjunto \(A\) pero que no se encuentran en el conjunto \(B\). Por lo tanto, se tiene que:
–
\(A\backslash B = {\rm{\{ }}n\;{\rm{|}}\;n \in A\; \wedge n \notin B\} \)

Cabe destacar que la diferencia de conjuntos no es conmutativa, es decir que: \(A\backslash B \ne B\backslash A\). Un ejemplo de esto sería el conjunto de los números enteros negativos denotados como \({\mathbb{Z}^ – }\) que se puede obtener de la siguiente manera:

\({\mathbb{Z}^ – } = \mathbb{Z}\backslash \mathbb{N}\)

– Diferencia simétrica: Esta operación entre dos conjuntos \(A\) y \(B\) resulta en un conjunto formado por todos aquellos elementos que se encuentran en \(A\) o en \(B\) pero que no se encuentran en ambos a la vez. Esto quiere decir que:

A△B = {n|n∈A\B∨n∈B\A}

Esto también lo podemos expresar como:

A△B = A∪B – A∩B

– Complemento: Si tenemos un conjunto \(A\) contenido en un conjunto \(B\), decimos que el complemente de \(A\), denotado como \({A^c}\), son todos los elementos que pertenecen a \(B\) y que no se encuentran en \(A\), es decir que:

\({A^c} = B\backslash A\)

En este caso existe una equidad entre el concepto de complemento y diferencia debido a que \(A\) es un subconjunto de \(B\).

Subconjuntos

Hay ocasiones en que dentro de un mismo conjunto podemos definir conjuntos más pequeños que se denominan “subconjuntos”. Se dice que un conjunto \(A\) es un subconjunto de otro conjunto \(B\) si todos los elementos que pertenecen a \(A\) también pertenecen a \(B\). Esto se denota como:

\(A \subseteq B\)

Lo cual quiere decir que “\(A\) está contenido en \(B\)”. Tomando como ejemplo los conjuntos numéricos mencionados con anterioridad tenemos que:

\(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}\)

Por: Ángel Zamora Ramírez. Licenciado en Física egresado de la Universidad de Colima. Maestro en Ciencias en Ingeniería y Física Biomédicas egresado del CINVESTAV. Amante de la divulgación científica.

Art. actualizado: Oct. 2023; sobre el original de febrero, 2009.

Datos para citar en modelo APA: Zamora Ramírez, A. (Oct. 2023). Definición de Conjunto, en Matemáticas. Significado.com. Desde https://significado.com/conjunto/