Ecuación de Schrödinger - Definición, Concepto y Qué es

Ángel Zamora Ramírez
Licenciado en Física

Supone una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica y es llamada así debido a que fue formulada por el físico austriaco Erwin Schrödinger en 1925. Esta ecuación describe la evolución espacial y temporal de un sistema cuántico a partir de su función de onda.

El nombre de Schrödinger es muy conocido en la física y en la mecánica cuántica, esto debido a su ecuación que se convirtió en una de las piedras angulares de la física moderna y a su famoso experimento mental de “El Gato de Schrödinger” que ilustra una aparente paradoja de una interpretación de la mecánica cuántica.

Antecedentes y desarrollo

A principios del Siglo XX la física desarrollada hasta el momento sufrió una crisis cuando fue incapaz de explicar teóricamente cómo los objetos emiten radiación electromagnética en función de su temperatura, suceso que fue conocido como “La Catástrofe Ultravioleta”. Este problema fue resuelto por el físico alemán Max Planck, pero lo hizo bajo una suposición muy extraña para la física de la época.

Para resolver este problema Planck supuso que la energía se emitía de manera discreta en pequeñas cantidades que llamó “cuantos”, de aquí que más tarde surgiera la palabra “cuántica”. Esta suposición era tan extraña que el propio Planck no la aceptaba, sin embargo, años después se vio la gran utilidad de ello cuando Albert Einstein la utilizó para explicar el efecto fotoeléctrico y Niel Bohr la usó para calcular los orbitales de los electrones en los átomos.

Otra consecuencia de esto fue la llamada “Dualidad Onda – Partícula” de la luz, y es que la luz parecía propagarse como una onda, pero interactuaba con la materia como si fuera una partícula. Ante este hecho, en 1924 el físico francés Louis de Broglie se preguntó si esta misma propiedad la podían tener las partículas subatómicas como el electrón, de tal manera que pudiéramos pensarlas como ondas de materia que se propagaban como onda e interactuaban como partículas.

Consideremos una partícula que lleva consigo cierto momento lineal p. Según la propuesta de de Broglie dicha partícula puede describirse como una onda de materia cuya longitud de onda λ está da por:

\(λ=h/p\)

Donde h es la constante de Planck. Esto se conoce como “Longitud de Onda de de Broglie”. Esta idea encajaba perfectamente con los desarrollado en mecánica cuántica hasta el momento, sin embargo, surgió la cuestión de cómo poder explicar el comportamiento de todos los sistemas cuántica a partir de una teoría ondulatoria. Es en este momento es que entra en escena Erwin Schrödinger.

Lo que hizo básicamente Schrödinger fue unificar los principios de la mecánica clásica con una teoría ondulatoria que explicara la dinámica de las partículas subatómicas tal y como lo había propuesto de Broglie. Fue de esta manera en que se construyó la ecuación de Schrödinger, la cual se convirtió en una especie de análoga de las leyes de Newton para la mecánica cuántica y dio pie a una formulación más completa de esta teoría.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

La versión más sencilla de la ecuación de Schrödinger que podemos analizar es aquella que no tiene dependencia del tiempo y que describe sistemas de una dimensión. Considerando que el sistema se encuentra sólo en el eje x, la ecuación de Schrödinger para este caso se ve como:

\((-ℏ^2/2m d^2/(dx^2 )+V)ψ=Eψ\)

Donde ℏ=h/2π es la constante de Planck reducida, m es la masa de la partícula, V es su energía potencial, E es la energía total del sistema y ψ es la función de onda del sistema. El primer término del lado izquierdo de la ecuación es un operador que se conoce como “hamiltoniano” y se denota como H ̂, de tal manera que:

\(H ̂=-ℏ^2/2m d^2/(dx^2 )+V\)

Esto nos permite reducir nuestra ecuación anterior a simplemente:

\(H ̂ψ=Eψ\)

Una generalización de este caso es considerar un sistema que evoluciona en las tres coordenadas espaciales (x,y,z). En esta situación el operador hamiltoniano está dado por:

\(H ̂=-ℏ^2/2m ∇^2+V(r^\to)\)

Donde ∇^2 es el operado laplaciano. En este caso la energía potencial V(r ⃗ ) depende del vector posición r ⃗ que abarca las tres coordenadas espaciales. Para esta situación la ecuación de Schrödinger se ve como:

\((-ℏ^2/2m ∇^2+V(r^\to))ψ(r^\to)=Eψ(r^\to)\)

Donde ahora la función de onda ψ(r ⃗ ) también depende del vector posición tridimensional r ⃗.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede aplicar a sistemas que no tienen una evolución temporal. También es aplicable en casos en donde las variaciones temporales son despreciables, o en los sistemas que sí tienen una evolución temporal pero que su dinámica puede ser separada en una parte espacial y otra temporal.

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

La forma completa de la ecuación de Schrödinger considera a una función de onda que existe en las tres dimensiones espaciales y que evoluciona en función del tiempo. Esta versión de la ecuación de Schrödinger se utiliza para describir sistemas cuánticos que también evolucionan temporalmente. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se expresa como:

\((-ℏ^2/2m ∇^2+V(r^\to,t))ψ(r^\to,t)=iℏ ∂/∂t ψ((r,)^\to t)\)

Podemos darnos cuenta de que en este caso tanto la energía potencial \(V(r^\to,t)\) y la función de onda \(ψ(r^\to,t)\) dependen del vector posición \(r^\to\) y del tiempo t. Esta versión de la ecuación de Schrödinger es aplicable en prácticamente todos los sistemas cuánticos, y como podemos observar, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es un caso especial de esta.

Interpretación estadística de la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger y el concepto de función de onda son fundamentales para entender cualquier sistema cuántico, y a pesar de que llenó muchos huecos que tenía en su momento la naciente mecánica cuántica, también hizo que surgiera la pregunta: ¿Cómo podemos interpretar estos conceptos?

La interpretación más conocida y aceptada de la ecuación de Schrödinger y de la función de onda es la “Interpretación Estadística” propuesta por Max Born. Esta interpretación nos dice que la función de onda lleva consigo las probabilidades de encontrar un sistema cuántica en un determinado estado, y que la ecuación de Schrödinger explica cómo evolucionan dichas probabilidades en el espacio y en tiempo.

Por simplicidad consideremos a un sistema que existe sólo en la dimensión x y que evoluciona con respecto al tiempo t, de tal manera que puede ser descrito por la función de onda ψ(x,t). Podemos calcular la probabilidad P de que dicho sistema se encuentre entre las posiciones x=a y x=b de la siguiente manera:

\(P=∫_a^b | ψ(x,t)|^2 dx\)

Donde |ψ(x,t)|^2 es la norma de la función de onda. Esta interpretación convirtió a la ecuación de Schrödinger en una herramienta muy poderosa para poder describir sistemas cuánticos y dio paso a otras interpretaciones que existen de la mecánica cuántica y de la función de onda.

Por: Ángel Zamora Ramírez. Licenciado en Física egresado de la Universidad de Colima. Maestro en Ciencias en Ingeniería y Física Biomédicas egresado del CINVESTAV. Amante de la divulgación científica.

Trabajo publicado en: Mar., 2025.

Datos para citar en modelo APA: Zamora Ramírez, A. (marzo, 2025). Definición de Ecuación de Schrödinger. Significado.com. Desde https://significado.com/ecuacion-schrodinger/