Circunferencia Significado, Elementos, Ecuación Canónica-General, y Ejercicios

  • Por Rebeca Fernández (Licenciada en Física)
  • Nov, 2020
  • ¿Qué comprende la ecuación de la circunferencia?

    Es aquella que cumplen los puntos del plano de coordenadas (x,y) y que pertenecen a determinada circunferencia de radio R. La condición para que un punto pertenezca a la circunferencia, es que su distancia a otro punto, llamado centro y denotado por C, sea igual a R. Cuando la circunferencia está centrada en el origen de coordenadas, que corresponde al punto (0,0), su ecuación toma la forma: .

    Pero este es un caso particular, pues la circunferencia puede estar centrada en cualquier otro punto del plano. Cuando el centro C de la circunferencia se ubica en las coordenadas arbitrarias (h,k), entonces su ecuación es . La misma se conoce como ecuación canónica, ordinaria o forma estándar de la circunferencia, dependiendo de la literatura de referencia.

    Elementos presentes en la gráfica de la circunferencia de un círculo

    A modo de ejemplo, se tiene a continuación la gráfica de la circunferencia . El centro de esta circunferencia es el punto C(3, −1) y en la gráfica aparece también el punto P (3,1), uno de los muchos que pertenece a esta circunferencia.

    Es sencillo comprobar que P pertenece a esta circunferencia, pues al sustituir los valores en la ecuación, resulta una igualdad:

    Graficar a mano la circunferencia es un procedimiento muy sencillo, si se conocen el centro C y el radio R. Para ello se necesita papel milimetrado, lápiz, regla y compás, siguiendo este procedimiento:

    – Sobre el papel milimetrado se marcan los ejes cartesianos y traza una escala.

    – Después se marcan cuidadosamente el origen (0,0) y el centro (h,k) de la circunferencia.

    – Por último, se apertura el compás al tamaño del radio, se coloca la punta en C y se traza la circunferencia de una sola pasada.

    Ecuación Canónica a Ecuación General

    Al desarrollar la ecuación canónica de la circunferencia mediante producto notable, se obtiene una expresión diferente para la ecuación, conocida como ecuación general de la circunferencia. Partiendo de:

    Se ordena el resultado obtenido, reagrupando los términos:

    Y se le dan nuevos nombres a los coeficientes, así:

    Para obtener finalmente la ecuación general de la circunferencia:

    En conclusión, pasar de la ecuación canónica a la ecuación general es muy sencillo, únicamente requiere desarrollar los productos notables y reagrupar los términos. Y si se quiere pasar de la ecuación general a la forma canónica, se requiere del procedimiento inverso, llamado completar cuadrados. La explicación está en el ejercicio resuelto 2.

    Ejercicios prácticos resueltos

    Ejercicio 1: Hallar la ecuación canónica y la ecuación general de la circunferencia con radio R = 4 y centro C (5,-1). Dibujar también su gráfica.

    Respuestas

    Dado que las coordenadas del centro son (5,-1) entonces:
    h = 5
    k = -1

    Por otro lado, el radio es R = 4. Sustituyendo todo en la ecuación canónica se obtiene:

    La ecuación general se obtiene desarrollando los productos notables y reacomodando los términos:

    La gráfica de la circunferencia es:

    Ejercicio 2 Encontrar el centro y el radio de la siguiente circunferencia dada en forma general:

    Respuesta

    Hay que llevar la ecuación general a la forma canónica mediante el método de completar cuadrados, cuyos pasos se muestran seguidamente:

    Paso 1

    Reacomodar los términos:

    Paso 2

    Buscar números que transformen cada una de las expresiones entre paréntesis en trinomios cuadrados perfectos. Por ejemplo el paréntesis (x2 − 4x) se transformaría en un trinomio cuadrado perfecto si se le agregara un 4, ya que:

    Claro que no se puede agregar a la expresión original un 4 así no más, ya que se altera, pero se puede agregar y al mismo tiempo se puede restar, entonces el original quedaría reescrito de una forma equivalente, sin alteración:

    x2 − 4x = (x2 − 4x + 4) – 4 = (x−2)2 – 4

    Se dice que se han completado los cuadrados en x. El procedimiento se repite para y:

    Completados los cuadrados en la variable y, la ecuación de la circunferencia, escrita en forma general, se transforma en:

    (x−2)2 – 4+ (y−3)2 − 9 = − 12

    Paso 3

    Trasponer los términos independientes, llevándolos a la derecha de la igualdad, con esto se obtiene el radio de la circunferencia:

    Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia buscada es:

    El centro es C (2,3) y el radio es R = 1. Se puede comprobar que esta expresión es equivalente a la expresión original si se desarrollan los productos notables y se simplifica. La gráfica de la circunferencia es: