Significado

¿Qué comprende la ecuación de la circunferencia?

Es aquella que cumplen los puntos del plano de coordenadas (x,y) y que pertenecen a determinada circunferencia de radio R. La condición para que un punto pertenezca a la circunferencia, es que su distancia a otro punto, llamado centro y denotado por C, sea igual a R. Cuando la circunferencia está centrada en el origen de coordenadas, que corresponde al punto (0,0), su ecuación toma la forma: .

Pero este es un caso particular, pues la circunferencia puede estar centrada en cualquier otro punto del plano. Cuando el centro C de la circunferencia se ubica en las coordenadas arbitrarias (h,k), entonces su ecuación es . La misma se conoce como ecuación canónica, ordinaria o forma estándar de la circunferencia, dependiendo de la literatura de referencia.

Elementos presentes en la gráfica de la circunferencia de un círculo

A modo de ejemplo, se tiene a continuación la gráfica de la circunferencia . El centro de esta circunferencia es el punto C(3, −1) y en la gráfica aparece también el punto P (3,1), uno de los muchos que pertenece a esta circunferencia.

Es sencillo comprobar que P pertenece a esta circunferencia, pues al sustituir los valores en la ecuación, resulta una igualdad:

Graficar a mano la circunferencia es un procedimiento muy sencillo, si se conocen el centro C y el radio R. Para ello se necesita papel milimetrado, lápiz, regla y compás, siguiendo este procedimiento:

– Sobre el papel milimetrado se marcan los ejes cartesianos y traza una escala.

– Después se marcan cuidadosamente el origen (0,0) y el centro (h,k) de la circunferencia.

– Por último, se apertura el compás al tamaño del radio, se coloca la punta en C y se traza la circunferencia de una sola pasada.

Ecuación Canónica a Ecuación General

Al desarrollar la ecuación canónica de la circunferencia mediante producto notable, se obtiene una expresión diferente para la ecuación, conocida como ecuación general de la circunferencia. Partiendo de:

Se ordena el resultado obtenido, reagrupando los términos:

Y se le dan nuevos nombres a los coeficientes, así:

Para obtener finalmente la ecuación general de la circunferencia:

En conclusión, pasar de la ecuación canónica a la ecuación general es muy sencillo, únicamente requiere desarrollar los productos notables y reagrupar los términos. Y si se quiere pasar de la ecuación general a la forma canónica, se requiere del procedimiento inverso, llamado completar cuadrados. La explicación está en el ejercicio resuelto 2.

Ejercicios prácticos resueltos

Ejercicio 1: Hallar la ecuación canónica y la ecuación general de la circunferencia con radio R = 4 y centro C (5,-1). Dibujar también su gráfica.

Respuestas

Dado que las coordenadas del centro son (5,-1) entonces:
h = 5
k = -1

Por otro lado, el radio es R = 4. Sustituyendo todo en la ecuación canónica se obtiene:

La ecuación general se obtiene desarrollando los productos notables y reacomodando los términos:

La gráfica de la circunferencia es:

Ejercicio 2 Encontrar el centro y el radio de la siguiente circunferencia dada en forma general:

Respuesta

Hay que llevar la ecuación general a la forma canónica mediante el método de completar cuadrados, cuyos pasos se muestran seguidamente:

Paso 1

Reacomodar los términos:

Paso 2

Buscar números que transformen cada una de las expresiones entre paréntesis en trinomios cuadrados perfectos. Por ejemplo el paréntesis (x2 − 4x) se transformaría en un trinomio cuadrado perfecto si se le agregara un 4, ya que:

Claro que no se puede agregar a la expresión original un 4 así no más, ya que se altera, pero se puede agregar y al mismo tiempo se puede restar, entonces el original quedaría reescrito de una forma equivalente, sin alteración:

x2 − 4x = (x2 − 4x + 4) – 4 = (x−2)2 – 4

Se dice que se han completado los cuadrados en x. El procedimiento se repite para y:

Completados los cuadrados en la variable y, la ecuación de la circunferencia, escrita en forma general, se transforma en:

(x−2)2 – 4+ (y−3)2 − 9 = − 12

Paso 3

Trasponer los términos independientes, llevándolos a la derecha de la igualdad, con esto se obtiene el radio de la circunferencia:

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia buscada es:

El centro es C (2,3) y el radio es R = 1. Se puede comprobar que esta expresión es equivalente a la expresión original si se desarrollan los productos notables y se simplifica. La gráfica de la circunferencia es: