Definición de Elipse
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Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias
La elipse es una de las cónicas que se ha estudiado desde la época de los griegos, sobre la referencia de Apolonio, y que ha sido útil para explicar la trayectoria de los planetas y en el diseño de habitaciones con características acústicas excepcionales. Cuando un cono recto es intersectado con un plano no paralelo a la generatriz del cono ni perpendicular a su base, el resultado es una Elipse, este hecho. Cuando el plano es paralelo se forma una circunferencia y este caso merece un tratamiento especial.
Dados dos puntos fijos \({F_1}\) y \({F_2}\), a los cuales llamaremos Focos de la Elipse y una constante \(k > 0\); la Elipse con focos en los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\), es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas distancias a los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\) es igual a una constante \(k\), es decir:
\(P{F_1} + P{F_2} = k\)
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Construcción de la elipse con regla y compás
Dados dos puntos fijos \({F_1}\) , \({F_2}\) y una constante \(k > 0\) podemos construir varios puntos que pertenezcan a la elipse que cumpla:
\(P{F_1} + P{F_2} = k;\)
Para ello es suficiente con realizar los siguientes pasos.
Situación inicial
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Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \({a_1}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k – {a_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_1}\) y \(P_1^\prime\).
La manera en que se eligieron los radios se garantiza:
\({F_1}{P_1} + {F_2}{P_1} = k\)
\({F_1}P{^\prime_1} + {F_2}P{^\prime_1} = k\)
Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \({a_1}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k – {a_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_1}\) y \(Q_1^\prime\)
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Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \({a_2}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k – {a_2}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_2}\) y \(P_2^\prime\).
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-4.png)
La manera en que se eligieron los radios se garantiza:
\({F_1}{P_2} + {F_2}{P_2} = k\)
\({F_1}P{^\prime_2} + {F_2}P{^\prime_3} = k\)
Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \({a_2}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k – {a_2}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_2}\) y \(Q_2^\prime\)
De manera análoga se construyen más puntos
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Al unir los puntos se obtiene el esbozo de una elipse cuyos focos son los puntos \({F_1}\) y \({F_2}.\)
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-6.png)
Elementos y características de la elipse
La siguiente figura muestra otros elementos importantes de la elipse.
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-7.png)
Elemento | Descripción | Ejemplo |
---|---|---|
Centro de la Elipse | Punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \), donde \({F_1}\) y \({F_2}\) son los focos de la elipse. | \(O\) |
Eje Focal o eje mayor | Es la recta que pasa por los focos | |
Vértice de la elipse | Intersección del eje focal con la elipse | \({V_1}\) y \({V_2}\) |
Eje conjugado o eje menor | Segmento de recta que une dos puntos de la elipse | |
Cuerda | Segmento de recta que une dos puntos de la elipse | \(\overline {P_3^\prime Q_1^\prime } \) |
Cuerda Focal | Cuerda que pasa por uno de los focos de la elipse | \(\overline {{P_1}S} \) |
Lado recto | Cuerda focal perpendicular al eje focal | \(\overline {RR^\prime } \) |
Diámetro de la elipse | Cuerda que pasa por el centro | \(\overline {{P_1}P_3^\prime } \) |
Características de la elipse
La elipse tiene dos ejes de simetría a saber: el eje focal y el eje conjugado denotaremos con
\(a = O{V_1},\)\(b = OP\)\(c = O{F_1}\)
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-8.png)
Elemento | Descripción | Valor |
---|---|---|
Semi eje mayor | Longitud del segmento \(\overline {O{V_1}} \) | \(a\) |
Semi eje menor | Longitud del segmento \(\overline {OQ} \) | \(b\) |
Eje mayor | Longitud del segmento \(\overline {{V_1}{V_2}} \) | \(2a\) |
Eje menor | Longitud del segmento \(\overline {QQ’} \) | \(2b\) |
Distancia focal | Longitud del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \) | 2\(c\) |
Se tienen las siguientes:
\(k = 2a\)
Es decir:
\(P{F_1} + P{F_2} = k = 2a,\;\)
Por el teorema de Pitágoras:
\({b^2} + {c^2} = {a^2}.\)
Una manera de dibujar una elipse en un programa de diseño consiste en determinar la localización del centro y los valores del eje mayor y del eje menor y no es necesario indicar la posición de cada uno de los focos de la elipse; las cuales se pueden determinar usando la relación:
\({b^2} + {c^2} = {a^2}.\)
Por ejemplo, si se traza una elipse en un programa de diseño cuyos ejes miden 6cm y 10 cm, entonces los semiejes miden 3 cm y 5cm; y la distancia focal se puede calcular de la siguiente manera:
\({3^2} + {c^2} = {5^2}\)
Al resolver la ecuación se obtiene que la distancia focal es de 4 cm.
Ecuaciones que modelan las elipses
Dados dos puntos fijos \({F_1}\) y \({F_2}\), a los cuales llamaremos Focos de la Elipse y una constante \(a > 0\); la Elipse con focos en los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\), es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas distancias a los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\) es igual a una constante \(k\), es decir:
\(P{F_1} + P{F_2} = 2a\)
Ecuaciones de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre uno de los ejes coordenados
Posición de la Elipse
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-ecuaciones-1.png)
Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( { – c,0} \right),\;{F_2}\left( {c,0} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( { – a,0} \right),\;{V_2}\left( {a,0} \right).\;\)Eje Focal: Eje \(x\)
Ecuación de la parábola
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {c^2} = {a^2}.\)
Posición de la Elipse
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-ecuaciones-2.png)
Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {0, – c} \right),\;{F_2}\left( {0,c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {0, – a} \right),\;{V_2}\left( {0,a} \right).\;\)Eje Focal Eje \(y\)
Ecuación de la parábola
\(\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {c^2} = {a^2}\)
Ejemplos resueltos
1. Características de la Elipse
El eje focal está sobre el eje de las ordenadas (eje de las \(y\)) sus semiejes miden 7 y 2 respectivamente y su centro está en el origen
Ecuación de la Elipse
En este caso
\(a = 7,\;b = 2,\) por lo tanto
\(c = \sqrt {{7^2} – {2^2}} = \sqrt {45} = \sqrt {{3^2}5} = 3\sqrt 5 \)
\(\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{7^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{49}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
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2. Características de la Elipse
El eje focal está sobre el eje de las abcisas (eje de las \(x\)), su distancia focal mide 8, su eje mayor mide 10 y centro está en el origen
Ecuación de la Elipse
En este caso
\(a = 4,\;c = 5,\) por lo tanto
\(b = \sqrt {{5^2} – {4^2}} = \sqrt 9 = 3\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Esbozo de la gráfica
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Ecuaciones sobre una elipse con la propiedad de un centro que está fuera del origen, y con un eje focal paralelo respecto de uno de los ejes coordenados
Posición de la Elipse
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-ecuaciones-5.png)
Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h – c,k} \right),\;{F_2}\left( {h + c,k} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h – a,k} \right),\;{V_2}\left( {h + a,k} \right).\;\)Eje Focal: \(y = k\)
Ecuación de la elipse
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {c^2} = {a^2}.\)
Posición de la Elipse
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-ecuaciones-6.png)
Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h,k – c} \right),\;{F_2}\left( {h,k + c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h,k – a} \right),\;{V_2}\left( {h,k + a} \right).\;\)Eje Focal \(x = h\)
Ecuación de la elipse
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {c^2} = {a^2}\)
Ejemplos resueltos
1. Características de la Elipse
Los focos son \({F_1}\left( { – 10, – 3} \right),\;{F_2}\left( {14, – 3} \right)\) y su eje mayor es igual a 26.
Ecuación de la Elipse
En este caso: \(2c = {F_1}{F_2} = 24,\) por lo tanto: \(c = 12\)
\(2a = 26\)
\(a = 13\)
\({b^2} + {c^2} = {a^2}\)
\({b^2} + {12^2} = {13^2}\)
\({b^2} = {13^2} – {12^2}\)
\({b^2} = 25\)
El centro de la elipse está en el punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \) el cual es \(C\left( {2, – 3} \right).\)
El eje focal es paralelo al eje de las \(x\).
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{{{13}^2}}} + \frac{{{{\left( {y – \left( { – 3} \right)} \right)}^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{{{\left( {y + 3)} \right)}^2}}}{{169}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-ecuaciones-7.png)
2. Características de la Elipse
Los focos son \({F_1}\left( {1,1} \right),\;{F_2}\left( {1, – 1} \right)\) y su eje menor es igual a 2.
Ecuación de la Elipse
En este caso: \(2c = {F_1}{F_2} = 2,\) por lo tanto: \(c = 1.\)
\(2b = 2\)
\(b = 1\)
\({b^2} + {c^2} = {a^2}\)
\({1^2} + {1^2} = {a^2}\)
\(2 = {a^2}\)
El centro de la elipse está en el punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \) el cual es \(C\left( {1,0} \right).\)
El eje focal es paralelo al eje de las \(y\).
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {x – 0} \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {y – 1)} \right)}^2}}}{{{1^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\)
Esbozo de la gráfica
![](https://significado.com/contenido/ciencia/elipse-ecuaciones-8.png)
![](https://significado.com/autor/Marco-Antonio-Rodriguez-Andrade.jpg)
Art. actualizado: Nov. 2022; sobre el original de julio, 2010.
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