Significado de Identidades Trigonométricas Definición, Fórmulas, y Ejemplos

Definición formal

Las identidades trigonométricas responde a la igualdad de dos o más funciones trigonométricas, ya sea de un ángulo o de varios, y que se verifica para cualquier valor dado a dichos ángulos.

Resultan muy útiles porque permiten ahorrar tiempo a la hora de resolver operaciones, tales como el seno o el coseno de la suma de dos ángulos, hallar seno o coseno de un ángulo múltiplo de otro, productos de senos y cosenos, etc. Estas operaciones se hacen presentes durante el cálculo de límites, derivadas e integrales diversas, por lo que es preciso tenerlas a mano siempre que se trabaje con funciones trigonométricas. De este modo, puede observarse como ejemplo

\(\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{sen }\!\!\alpha\!\!\text{ }}{\text{cos }\!\!\alpha\!\!\text{ }}\)

El mismo expresa que la tangente de α es el cociente entre el seno de α y el coseno de α. Esta identidad vincula solamente funciones trigonométricas del ángulo α, pero en la siguiente identidad aparecen dos ángulos α y β:

\(sen(\alpha \pm \beta )=sen\alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot sen\beta \)

El símbolo “más menos” en ambos lados señala que si se escoge el signo + a la izquierda, también debe hacerse a la derecha.

Ejemplos de las principales identidades trigonométricas y las fórmulas correspondientes

Identidades de cociente

Considérese el triángulo rectángulo de la siguiente figura y el ángulo agudo α.

La tangente del ángulo α se define como el cociente entre el cateto opuesto “a” y el cateto adyacente “b” (todo referido al ángulo α):

\(\tan \alpha =\frac{a}{b}\)

La cual se puede escribir como:

1) \(\text{tan }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{sen }\!\!\alpha\!\!\text{ }}{\text{cos }\!\!\alpha\!\!\text{ }}\)

La cotagente de α en cambio, es el cociente entre el coseno de α y el seno de α:

\(\text{cotan }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{b}}{\text{a}}\)

Que se expresa como:

2) \(\text{cotan }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{cos }\!\!\alpha\!\!\text{ }}{\text{sen }\!\!\alpha\!\!\text{ }}\)

Casos de identidades recíprocas

Corresponden a las inversas de sen α, cos α y tan α:

3) \(\cos ec\alpha =\frac{1}{sen\alpha }\)

4) \(\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }\)

5) \(\cot an\alpha =\frac{1}{\tan \alpha }\)

Fórmulas de las identidades derivadas del teorema de Pitágoras

Este grupo de tres identidades deriva del teorema de Pitágoras como sigue. Considérese el triángulo rectángulo de la figura anterior, cuyos catetos son “a”, “b” y cuya hipotenusa es “c”. Según el teorema de Pitágoras:

\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\)

A partir del teorema y haciendo uso de las razones trigonométricas y las identidades de cociente y recíprocas, aparecen tres identidades triginométricas importantes que contienen cuadrados:

Dividiendo toda la expresión entre c2:

\(\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\)

Se transforma en:

\({{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=1\)

Ahora bien, se sabe que:

\(\text{sen }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{a}}{\text{c}}\); \(\text{cos }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{b}}{\text{c}}\)

Sustituyendo se obtiene la siguiente identidad:

6) \({{\left( sen\alpha \right)}^{2}}+{{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}=1\)

Con frecuencia esta identidad se conoce como identidad trigonométrica fundamental.

Dividiendo toda la expresión entre a2:

\(\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}\)

Se reescribe como:

\(1+{{\left( \frac{b}{a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{c}{a} \right)}^{2}}\)

Pero, a partir del triángulo se conoce que:

\(\text{cot }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{b}}{\text{a}}\); \(\text{cosec }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{\text{c}}{\text{a}}\)

La identidad se transforma en:

7) \(1+{{\left( \cot \alpha \right)}^{2}}={{\left( \cos ec\alpha \right)}^{2}}\)

Dividiendo toda la expresión entre b2:

\(\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}=\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}\)

Se transforma en:

\({{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}+1={{\left( \frac{c}{b} \right)}^{2}}\)

Nuevamente, del triángulo de la figura se tiene que:

\(\tan \alpha =\frac{a}{b}\); \(\sec \alpha =\frac{c}{b}\)

Al sustutuir se obtiene la tercera de las identidades trigonométricas derivadas del teorema de Pitágoras:

8) \({{\left( \tan \alpha \right)}^{2}}+1={{\left( \sec \alpha \right)}^{2}}\)

Fórmulas de Bhaskara Acharya

Bhaskara Acharya (1114-1185) fue un matemático hindú, a quien se le atribuyen estas identidades trigonométricas para hallar el seno y el coseno de la suma/resta de los ángulos α y β, así como también la fórmula para resolver las ecuacones de segundo grado.

9) \(sen(\alpha +\beta )=sen\alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot sen\beta \)

10) \(sen(\alpha -\beta )=sen\alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot sen\beta \)

11) \(\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -sen\alpha \cdot sen\beta \)

12) \(\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +sen\alpha \cdot sen\beta \)

Ejemplos de las identidades trigonométricas para el ángulo doble

El ángulo doble es 2α. A partir de 9), haciendo β = α se tiene que:

\(sen(\alpha +\beta )=sen(\alpha +\alpha )=sen(2\alpha )\)

Por lo tanto:

\(sen(2\alpha )=sen\alpha \cdot \cos \alpha +sen\alpha \cdot \cos \alpha =2sen\alpha \cdot \cos \alpha \)

13) \(sen(2\alpha )=2sen\alpha \cdot \cos \alpha \)

Mediante 11) se puede encontrar una nueva identidad trigonométrica siguiendo el mismo procedimiento:

cos (α + α) = cos α ∙ cos α – sen α ∙ sen α

14) cos (2α) = (cos α )2– (sen α )2

Usando la identidad fundamental 6) se pueden encontrar nuevas identidades para 14), ya que contiene cuadrados, por ejemplo:

\({{\left( sen\alpha \right)}^{2}}=1-{{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}\)

Sustituyendo en 14):

\(\cos (2\alpha )={{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}-{{\left( sen\alpha \right)}^{2}}={{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}-[1-{{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}]=-1+2{{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}\)

15) \(\cos (2\alpha )=2{{\left( \cos \alpha \right)}^{2}}-1\)

Identidades trigonométricas para el ángulo mitad

Supóngase que en 15) los ángulos se re-nombran como sigue:

2α = x

α = x/2

La identidad quedaría como sigue:

\(\cos x=2{{\left( \cos \frac{x}{2} \right)}^{2}}-1\)

Despejando \(\cos \left( \frac{x}{2} \right)\) y, si se quiere, llamando x = α, se obtiene una nueva identidad trigonométrica para el ángulo mitad:

16) \(\cos \left( \frac{\alpha }{2} \right)=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}\)

Se puede encontrar la correspondiente expresión para \(sen\left( \frac{\alpha }{2} \right)\) si se emplea la identidad fundamental 6):

\({{\left( sen\frac{\alpha }{2} \right)}^{2}}+{{\left( \cos \frac{\alpha }{2} \right)}^{2}}=1\)

\({{\left( sen\frac{\alpha }{2} \right)}^{2}}=1-{{\left( \cos \frac{\alpha }{2} \right)}^{2}}=1-{{\left( \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}} \right)}^{2}}=1-\left( \frac{1+\cos \alpha }{2} \right)=\frac{1-\cos \alpha }{2}\)

Que resulta en:

17) \(sen\left( \frac{\alpha }{2} \right)=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}\)

Ejercicio: Demostrar la siguiente identidad trigonométrica

\(\frac{{{\cos }^{2}}x-se{{n}^{2}}x}{1+\tan x}=\frac{1-\tan x}{{{\sec }^{2}}x}\)

Respuesta

Se reescribe la expresión en términos de la siguiente identidad:

\({{\cos }^{2}}x=\frac{1}{{{\sec }^{2}}x}\)

Y además se factoriza el coseno cuadrado en el lado izquierdo, quedando:

\(\frac{{{\cos }^{2}}x\left( 1-\frac{se{{n}^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x} \right)}{1+\tan x}={{\cos }^{2}}x\left( 1-\tan x \right)\)

Ahora se hace uso de: \({{\tan }^{2}}x=\frac{se{{n}^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}\)

\(\frac{{{\cos }^{2}}x\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)}{1+\tan x}={{\cos }^{2}}x\left( 1-\tan x \right)\)

La expresión \(\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)\) es un producto notable que se factoriza:

\(\frac{{{\cos }^{2}}x\left( 1-\tan x \right)\left( 1+\tan x \right)}{1+\tan x}={{\cos }^{2}}x\left( 1-\tan x \right)\)

Al simplificar el lado izquierdo ya se obtiene la igualdad:

\({{\cos }^{2}}x\left( 1-\tan x \right)={{\cos }^{2}}x\left( 1-\tan x \right)\)