Significado de Impulso Definición, Teorema, Fuerzas, y Ejercicios

Definición formal

El impulso es una cantidad vectorial que relaciona una fuerza con el intervalo de tiempo durante el cual actúa.

Se requiere un impulso para cambiar la velocidad y el movimiento de las cosas, como lo hace un jugador de fútbol con la pelota al disparar a la portería, el bateador cuando propina un batazo o el golpe de la raqueta de tenis. Los deportistas continuamente le imparten impulso a la pelota, ejerciendo sobre ella una fuerza de gran magnitud en muy corto tiempo.

En el espectro social y psicológico, un impulso comprende una acción brusca y repentina, desbordante, despertado en el momento por un fuerte sentimiento. Existen personas que padecen este síntoma con mayor frecuencia e intensidad que otras, adjetivadas como impulsivas.

Matemáticamente la definición del impulso se establece de la siguiente manera: sea J el vector impulso, que se denota con letra negrita para distinguirlo de su módulo y de las cantidades escalares, la fuerza neta Fn constante que lo produce (y que también es un vector), y por último el intervalo de tiempo t2 – t1 = Δt durante el cual actúa. Entonces:

J = Fn ∙ Δt

De esta forma el impulso es un vector con la misma dirección y sentido que la fuerza.

En el caso habitual de que sobre el cuerpo actúe una fuerza neta dada por:

Fn = ∑ Fi

El impulso se expresa mediante:

J = ∑ Fi ∙ Δt

Las unidades del impulso son newton × segundo en el Sistema Internacional de unidades SI y coinciden con las del momentum o cantidad de movimiento lineal. No es casualidad, puesto que el impulso es el agente que produce el cambio en la cantidad de movimiento del objeto.

Teorema impulso-cantidad de movimiento

La fuerza neta se define como la variación temporal de la cantidad de movimiento, algo que tiene mucho sentido, puesto que si hay un fuerza neta actuando sobre un objeto, su movimiento va a cambiar con el tiempo. Suponiendo constante la fuerza, si esto se escribe en forma matemática queda lo siguiente:

\(\sum{{{\text{F}}_{i}}=\frac{\Delta \text{p}}{\Delta t}}\)

Donde p es el vector cantidad de movimiento:

p = m∙v

Despejando Δp se obtiene justamente la definición del impulso:

Δp = ∑ Fi ∙ Δt

Y se concluye de inmediato que el impulso equivale al cambio o variación en la cantidad de movimiento del cuerpo:

J = Δp = p2p1

O bien:

J = mv2 – mv1

Impulso de fuerzas variables

Es común que las fuerzas que actúan sobre los móviles que chocan sean variables en el tiempo, muy intensas y además, de corta duración, como la que se muestra en la siguiente figura:

En ese caso se sustituye las deltas “Δ” por derivadas en la definición de fuerza, para indicar variaciones infinitesimales de la cantidad de movimiento:

\(\sum{{{\text{F}}_{i}}=\frac{d\text{p}}{dt}}\)

Entonces el impulso viene dado por la integral de tales variaciones respecto al tiempo:

\(\text{J}=\int_{{{t}_{o}}}^{{{t}_{f}}}{\left( \frac{d\text{p}}{dt} \right)\cdot dt}=\int_{{{\text{p}}_{o}}}^{{{\text{p}}_{f}}}{d\text{p}}={{\text{p}}_{f}}-{{\text{p}}_{o}}\)

Otra forma de expresar lo anterior es:

\(\text{J}=\int_{{{t}_{o}}}^{{{t}_{f}}}{\text{F}\cdot dt}\)

Así queda definido el impulso como el área bajo la curva fuerza versus tiempo.

Si no se conoce la dependencia exacta de la fuerza neta en el tiempo, o no se quiere emplear el cálculo, es útil definir una fuerza promedio llamada Fmedia y con ella calcular el impulso proporcionado durante un lapso de tiempo Δt:

J = Fmedia ∙ Δt

Las fuerzas que actúan durante una colisión suelen ser muy complejas. Sin embargo, se puede medir fácilmente el tiempo, así como las velocidades de los objetos y es a partir de esta información que se estima la fuerza media durante el choque. El siguiente ejercicio ilustra la forma de hacerlo.

Ejercicios

Ejercicio resuelto 1

Se patea un balón de fútbol inicialmente en reposo y de 0.45 kg de masa, el cual sale disparado con rapidez de 25 m/s. Calcular:

a) La magnitud del impulso recibido por el balón.
b) La fuerza media ejercida por el jugador, suponiendo que el pie permanece en contacto con el balón durante 8 milisegundos.

Respuestas

a) Si el balón está inicialmente en reposo, la magnitud de su cantidad de movimiento inicial es po = 0. El enunciado proporciona la rapidez final y de esta manera se calcula la magnitud de la cantidad de movimiento final:

pf = mvf = 0.45 kg×25 m/s = 11.25 kg×m/s = 11.25 N×s

El cambio en la cantidad de movimiento del balón es:

Δp = pf − po = (11.25 − 0) N×s = 11.25 N×s

Dado que Δp es equivalente al impulso, se concluye que:

J = 11.25 N×s

b) La información proporcionada por el enunciado permite calcular magntud de la fuerza media Fm mediante:

\({{F}_{m}}=\frac{J}{\Delta t}\)

El valor de J se calculó en el apartado anterior, pero el tiempo se debe expresar primero en segundos antes de sustituir valores:

8 milisegundos = 8× 10-3 s.

\({{F}_{m}}=\frac{11.25N\times s}{8\times {{10}^{-3}}s}=1406.25N\)

Ejercicio resuelto 2

¿Cuál es el impulso que proporciona una fuerza F (t) = 71i + (12 t2−5) j entre t = 0 y t = 3 segundos?

Respuesta

En este caso sí se conoce la fuerza, que no es constante, sino variable en el tiempo. Por lo tanto se usará la expresión:

\(\text{J}=\int_{{{t}_{o}}}^{{{t}_{f}}}{\text{F}\cdot dt}\)

Se sustituye F(t) según aparece en el enunciado y los límites de integración son to = 0 segundos y tf = 3 segundos.

Como la fuerza es un vector, se hacen dos integrales por separado, una para la componente en i y otra para la componente en j:

\(\text{J}=\int_{{{t}_{o}}}^{{{t}_{f}}}{\text{F}\cdot dt}=\int\limits_{0}^{3}{\left[ 71\text{i}+(12{{t}^{2}}-5)\text{j} \right]}dt=\int\limits_{0}^{3}{71\text{i}dt}+\int\limits_{\text{0}}^{\text{3}}{(12{{t}^{2}}-5)\text{j}}dt=\)

\(\text{J}=\left( 71\left. t \right|_{0}^{3} \right)\text{ i}+\left( \left. 4{{t}^{3}} \right|_{0}^{3}-5\left. t \right|_{0}^{3} \right)\text{j}=\left( 71\times 3 \right)\text{i}+\left( 4\times {{3}^{3}}-5\times 3 \right)\text{j}=213\text{i}+93\text{j }N\times s\)