Significado de Teorema del Impulso y Cantidad de Movimiento Definición, y Ejemplos

Definición formal

El Teorema del Impulso sentencia que cualquier cambio en la cantidad de movimiento de una partícula, ocurrido durante un cierto intervalo de tiempo, equivale al impulso que actúa sobre ella durante este lapso. Es razonable suponer que cuando el ímpetu o cantidad de movimiento de un objeto cambia, es que una fuerza proporcionó el impulso. El impulso es una cantidad vectorial cuya dirección es la misma que la de la fuerza neta aplicada. Su magnitud es el producto entre la magnitud de la fuerza y el intervalo de tiempo durante el cual actúa.

Si se denota el vector impulso mediante \(\vec{I}\) y la fuerza neta como \(\sum \vec{F}\), entonces lo anterior queda expresado como

\(\vec{I}=\sum \vec{F}\cdot \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t\)

Donde Δt es el intervalo de tiempo.

De la ecuación anterior, se observa que las unidades del impulso son de fuerza por tiempo. En el Sistema Internacional de Unidades SI, son newton × segundo (N.s). Vale la pena mencionar también las unidades en sistema inglés: libra-segundo (lb.s) y el slug-pie por segundo (slug . ft/s).

Ahora bien, el teorema afirma que el impulso es equivalente a la variación en la cantidad de movimiento, al que se denota como \(\vec{P}\), por tanto

\(\vec{I}=\sum \vec{F}\cdot \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\vec{P}={{\vec{P}}_{final}}-{{\vec{P}}_{inicial}}\)

Demostración de la sentencia

Para convencerse de que el teorema es correcto, hay que partir de la definición de ímpetu para una partícula de masa m y velocidad \(\vec{v}\)

\(\vec{P}=m\vec{v}\)

Las unidades del ímpetu son kg∙m/s, que se pueden reescribir fácilmente como N.s, las mismas que las del impulso.

Además, otra forma de expresar la segunda ley de Newton es

\(\sum \vec{F}=m\cdot \vec{a}=\frac{{\text{ }\!\!\Delta\vec{P}}}{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ t}}}\)

Al sustituir esto en la definición del impulso, se obtiene de inmediato que

\(\vec{I}=\sum \vec{F}\cdot \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=\frac{{\text{ }\!\!\Delta\vec{P}}}{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ t}}}\cdot \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=\text{ }\!\!\Delta\vec{P}\)

Y con esto se verifica fácilmente el teorema, que es válido tanto para fuerzas constantes como para fuerzas variables. En este último caso, se sustituye la sumatoria por el símbolo de integral, y el intervalo de tiempo se convierte en un diferencial de tiempo.

Ejemplos de aplicación del impulso

Las personas aplican cotidianamente el concepto de impulso. Se dice “tomar impulso” o “agarrar impulso”, antes de ejecutar alguna acción física o emprender algún proyecto para el que se necesite vencer la inercia y consumir mucha energía.

Hay que proporcionar impulso a un cohete para que supere la gravedad terrestre y se eleve, por eso requiere un sistema de propulsión que cambie su ímpetu o cantidad de movimiento.

Como el ímpetu de un objeto describe precisamente su movimiento, mediante un buen impulso, este movimiento se modifica.

Ahora bien, el impulso depende de la fuerza aplicada, y también del tiempo durante el cual actúa. Aumentando la magnitud de la fuerza o permitiendo que esta actúe durante más tiempo, o ambas cosas a la vez, se fomenta el impulso y con ello se obtiene un mayor ímpetu.

Los juegos y deportes con pelotas y balones proporcionan gran cantidad de ejemplos:

– Con un rápido golpe de la raqueta, el tenista impulsa a gran velocidad la pelota hacia el contrario.

– En el béisbol, el bateador le proporciona un impulso a la pelota al batearla, y con ello cambia su movimiento. Lo mismo hace el lanzador, pero con la mano.

– En el golf, la pelotita se impulsa con el palo.

– Durante el juego de fútbol, el jugador patea el balón para impulsarlo en la dirección del compañero o directamente para disparar a puerta.

– En el saque de banda, el futbolista toma el balón con sus manos por encima y por detrás de su cabeza, arqueándose para darle impulso a la pelota. Aumentando el tiempo de contacto con el balón, el impulso también aumenta su magnitud.

– De igual forma, durante el saque de portería, el arquero le proporciona impulso al balón con la mano, con un movimiento desde atrás hacia adelante.

Ejercicio práctico

Se lanza una pelota de béisbol de 0.2 kg hacia la izquierda, a razón de 20 m/s, y el bateador la impulsa con el bate en sentido contrario a 35 m/s. Se sabe que la fuerza media sobre la pelota es de 6400 N.

Se pregunta: ¿durante cuánto tiempo estuvo la pelota en contacto con el bate?

Bien, para responder a ello, el teorema del impulso establece que

\(\vec{I}=\sum \vec{F}\cdot \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\vec{P}={{\vec{P}}_{final}}-{{\vec{P}}_{inicial}}\)

Se prescinde de la notación vectorial, puesto que la pelota se mueve en la misma dirección cuando es lanzada y después de ser bateada. DE acuerdo al enunciado, lo que cambia es el sentido. Se le puede asignar sentido positivo a la derecha y negativo a la izquierda, por lo tanto, se escriben las respectivas velocidades así

\({{v}_{final}}=+35\frac{m}{s}\)

\({{v}_{inicial}}=-20\frac{m}{s}\)

El teorema se explica de este modo:

Seguidamente, donde aparece \(\sum F\) se coloca la fuerza media \({{F}_{media}}\), cuyo valor se da en el enunciado y es de 6400 N

\({{F}_{media}}\cdot \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=m\cdot {{v}_{final}}-m\cdot {{v}_{inicial}}\)

Por último, se despeja y se calcula el intervalo de tiempo Δt

\(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=\frac{m\cdot {{v}_{final}}-m\cdot {{v}_{inicial}}}{{{F}_{media}}}=~\frac{0.2kg\cdot 35\frac{m}{s}-0.2kg\cdot \left( -20\frac{m}{s} \right)}{6400N}=0.0017~s=1.7ms\)

La pelota y el bate estuvieron en contacto durante apenas 1.7 milisegundos. Un lapso de tiempo muy breve, durante el cual se aplicó a la pelota una fuerza de gran magnitud.