Ley de Hooke (Elasticidad) Significado, en Objetos Sólidos, y Ejercicio

Significado: ¿En qué consiste la ley de Hooke que explica la elasticidad?

Cuando un objeto elástico, como por ejemplo un resorte o una liga de goma, se estira o, por el contrario, se comprime, es capaz de ejercer sobre otro cuerpo una fuerza acorde a su deformación. Y una vez que se deja en libertad, el objeto regresa a sus dimensiones originales, siempre y cuando la deformación no sobrepase un determinado valor. Más allá de este valor la deformación es permanente.

Para deformaciones que no sobrepasen este límite, un resorte sigue la ley de Hooke, dada por:

Donde es la fuerza que ejerce el resorte, es el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, ya sea de compresión o elongación y k es una constante que depende del resorte mismo, llamada constante de elasticidad del resorte.

El signo menos en la ecuación señala que la fuerza que el resorte ejerce siempre es contraria al desplazamiento. Si Δx > 0, la fuerza del resorte apunta en sentido negativo, y viceversa, si Δx < 0, la fuerza se dirige en sentido positivo. En conclusión, la fuerza siempre apunta hacia la posición de equilibrio del resorte y por eso se la llama fuerza restauradora, ya que tiende a restaurar el equilibrio.

Como la fuerza se expresa en newton (N), la constante del resorte k tiene unidades de newton/metro en el Sistema Internacional de unidades SI.

La ley de Hooke debe su nombre al notable científico inglés Robert Hooke (1635-1703), contemporáneo de Isaac Newton y el primero en analizar mediante experimentos las propiedades elásticas de los materiales.

Hooke tomó alambres hechos de diversos materiales, fijó uno de los extremos y colgó pesos diferentes del otro. Con cada peso, el alargamiento del resorte es diferente, pero Hooke descubrió que siempre se mantiene la misma proporción.

Ley de Hooke para objetos sólidos

Los objetos, al igual que los resortes, se deforman bajo la acción de las fuerzas. Por ejemplo, colgando verticalmente una barra por uno de sus extremos, un peso que pende del otro extremo hace que la barra se estire a causa de la tensión. Y si la elongación es pequeña, la ley de Hooke también se cumple para barras, vigas y objetos diversos, solo que en vez de expresarse en términos de la fuerza y el desplazamiento, se usan unas magnitudes llamadas, respectivamente, esfuerzo y deformación.

De esta manera:

Esfuerzo ∞ Deformación

Es decir, el esfuerzo es proporcional a la deformación.

Para transformar esta expresión en una ecuación, se necesita la constante de proporcionalidad, que en este caso es el módulo de elasticidad del material con que está hecho el objeto, el cual también se conoce como módulo de Young. Así:

E = Y∙δ

Donde E denota el esfuerzo, que se define como la fuerza por unidad de área F/A, Y es el módulo de Young y δ es la deformación unitaria, que se calcula mediante el cociente entre el cambio de longitud y la longitud original:

δ = ΔL/Lo

Con ΔL = Longitud final – Longitud inicial = Lf – Lo.

La unidad del esfuerzo en el Sistema Internacional de unidades SI es el newton/metro cuadrado (N/m2), llamado pascal y abreviado Pa. Son las mismas unidades que se utilizan para la presión. En cuanto a la deformación unitaria, esta es una cantidad sin dimensiones, pues se trata del cociente entre dos longitudes. Esto quiere decir que el módulo de Young o módulo de elasticidad del material debe tener unidades de Pa, para mantener la homogeneidad de las unidades.

Thomas Young (1773-1829), cuyo nombre lleva el módulo de elasticidad, fue un científico inglés multifacético: era médico, físico y lingüista. Puso de manifiesto la naturaleza ondulatoria de la luz en su famoso experimento de la doble rendija, investigó la elasticidad de las arterias y descifró parte de la piedra Rosetta.

La ley de Hooke expresada de esta forma se cumple no solamente para barras sometidas a tensión, sino también bajo compresión, las cuales producen deformaciones de longitud (unidimensionales). Sin embargo, para situaciones más complicadas, la formulación matemática se hace más compleja.

No obstante, muchos sistemas en la naturaleza siguen la ley de Hooke, como los átomos apenas desplazados de su posición de equilibrio en la red cristalina y otras fuerzas que originan oscilaciones en las partículas.

Ejercicio resuelto

Se somete una cuerda de nylon de 1 mm de diámetro a una tensión de 275 N. ¿Cuánto se estira la cuerda, si su longitud original es de 30 cm?

Respuesta
Suponiendo que la cuerda se mantiene en el límite elástico, es válida la ley de Hooke:

E = Y∙δ

Primero se calcula el esfuerzo al que está sometida la cuerda, para lo cual se usan los datos proporcionados por el enunciado:

E = Tensión /Área

El área de sección transversal de la cuerda es:

A =π∙D2/4

Donde D es el diámetro igual a 1 mm =1∙10−3 m:

A = π∙(1∙10−3 m)2/4 = 7.854∙10−7 m2

Por lo tanto el esfuerzo es:

E = 275 N /7.854∙10−7 m2 = 3.50∙108 Pa

Ahora se despeja la deformación unitaria δ:

δ = E/Y

El módulo de Young del nylon se determina experimentalmente y según las tablas es Y = 5.0∙109 Pa, entonces la deformación unitaria vale:

δ = 3.50∙108 Pa /5.0∙109 Pa = 7.0∙10-2

Y como se recordará, la deformación unitaria es el cociente entre la deformación y la longitud original, de manera que la deformación ΔL se puede despejar como:

δ = ΔL/L → ΔL = δ∙L = 7.0∙10-2 ∙ 30 cm = 2.1 cm