Significado de Racionalización (Matemática) Definición, Definición Formal, Ejemplos, y Ejercicios

Definición formal

La racionalización se aplica sobre una expresión fraccionaria que contiene raíces de índice n, ya sea aritmética (con números solamente) o algebraica (con números y literales), con la que se elimina dicha raíz del denominador (o en ocasiones del numerador) obteniendo una expresión que representa y remite a la original.

Es un instrumento para facilitar las operaciones, como por ejemplo, algunos límites que se estudian en Cálculo. Para llevarlo a cabo, es preciso encontrar el factor de racionalización apropiado, el cual, al ser multiplicado por el numerador o denominador, lo deja libre de radicales. La parte final del proceso consiste en simplificar la expresión obtenida.

En este texto se abordan los casos más frecuentes, con sus factores de racionalización, cada uno acompañado de un ejemplo ilustrativo:

1) Denominador de la forma \(\sqrt{a}\)

El procedimiento es multiplicar numerador y denominador por el factor de racionalización \(\sqrt{a}\), de esta manera la expresión original permanece inalterada, pero la raíz habrá desaparecido del denominador:

\(\frac{1}{{\sqrt{a}}}=\frac{1}{{\sqrt{a}}}\times \frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt{a}}}=\frac{{\sqrt{a}}}{{{{{\left( {\sqrt{a}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{\sqrt{a}}}{a}\)

Ejemplo resuelto 1-A

Racionalizar el denominador de la expresión \(\frac{4}{{\sqrt{{2x}}}}\).

Respuesta

El factor de racionalización para este caso es \(\sqrt{{2x}}\):

\(\frac{4}{{\sqrt{{2x}}}}=\frac{4}{{\sqrt{{2x}}}}\times \frac{{\sqrt{{2x}}}}{{\sqrt{{2x}}}}=\frac{{4\sqrt{{2x}}}}{{{{{\left( {\sqrt{{2x}}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{4\sqrt{{2x}}}}{{2x}}=\frac{{2\sqrt{{2x}}}}{x}\)

Nótese que la expresión resultante es equivalente a la original, pero en el denominador ya no hay una raíz. Esto es precisamente lo que se busca.

2) Denominador de la forma \(\sqrt[n]{{{{a}^{m}}}}\)

Si el denominador tiene la forma \(\sqrt[n]{{{{a}^{m}}}}\)con m < n, entonces hay que multiplicar numerador y denominador por el factor de racionalización \(\sqrt[n]{{{{a}^{{n-m}}}}}\), tomando en cuenta que a > 0:

\(\frac{1}{{\sqrt[n]{{{{a}^{m}}}}}}=\frac{1}{{\sqrt[n]{{{{a}^{m}}}}}}\times \frac{{\sqrt[n]{{{{a}^{{n-m}}}}}}}{{\sqrt[n]{{{{a}^{{n-m}}}}}}}=\frac{{\sqrt[n]{{{{a}^{{n-m}}}}}}}{{\sqrt[n]{{{{a}^{m}}.{{a}^{{n-m}}}}}}}=\frac{{\sqrt[n]{{{{a}^{{n-m}}}}}}}{{\sqrt[n]{{{{a}^{n}}}}}}=\frac{{\sqrt[n]{{{{a}^{{n-m}}}}}}}{a}\)

Ejemplo resuelto 2

Racionalizar el denominador en la expresión siguiente:

\(\frac{{2x}}{{\sqrt[5]{{\,{{x}^{2}}}}}}\)

Respuesta

En el denominador se tiene:

a = x; m = 2 y n = 5

Por lo tanto el factor de racionalización es: \(\sqrt[n]{{{{a}^{{n-m}}}}}=\sqrt[5]{{{{x}^{{5-2}}}}}=\sqrt[5]{{{{x}^{{5-2}}}}}=\sqrt[5]{{{{x}^{3}}}}\)

Entonces:

\(\frac{{2x}}{{\sqrt[5]{{\,{{x}^{2}}}}}}=\frac{{2x}}{{\sqrt[5]{{\,{{x}^{2}}}}}}\times \frac{{\sqrt[5]{{\,{{x}^{3}}}}}}{{\sqrt[5]{{\,{{x}^{3}}}}}}=\frac{{2x\cdot \sqrt[5]{{\,{{x}^{3}}}}}}{{\sqrt[5]{{\,{{x}^{2}}\cdot {{x}^{3}}}}}}=\frac{{2x\cdot \sqrt[5]{{\,{{x}^{3}}}}}}{{\sqrt[5]{{\,{{x}^{5}}}}}}=\frac{{2x\cdot \sqrt[5]{{\,{{x}^{3}}}}}}{x}=2\cdot \sqrt[5]{{\,{{x}^{3}}}}\)

3) Denominador de la forma \(a\pm b\sqrt{c}\)

Si el denominador es un binomio, para eliminar la raíz del denominador, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, el cual es \(a\mp b\sqrt{c}\).

Además se hace uso del producto notable de la suma por su diferencia:

\((x+y)(x-y)={{x}^{2}}-{{y}^{2}}\)

Por ejemplo, al racionalizar el denominador de \(\frac{1}{{a+b\sqrt{c}}}\), el factor de racionalización es la expresión conjugada del denominador \(a-b\sqrt{c}\):

\(\frac{1}{{a+b\sqrt{c}}}=\frac{1}{{a+b\sqrt{c}}}\times \frac{{a-b\sqrt{c}}}{{a-b\sqrt{c}}}=\frac{{a-b\sqrt{c}}}{{{{a}^{2}}-{{{\left( {b\sqrt{c}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{a-b\sqrt{c}}}{{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}c}}\)

Ejemplo resuelto 3-A

Racionalizar el denominador en esta expresión aritmética:

\(\frac{{3\,\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,+\,\,2}}{{3\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,-\,\,\,2}}\)

Respuesta

El conjugado del denominador es \(3\sqrt{7}+2\), por lo tanto se debe multiplicar numerador y denominador por este factor, para no alterar el número original:

\(\frac{{3\,\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,+\,\,2}}{{3\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,-\,\,\,2}}=\frac{{3\,\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,+\,\,2}}{{3\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,-\,\,\,2}}\times \left( {\frac{{3\,\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,+\,\,2}}{{3\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,+\,\,\,2}}} \right)=\frac{{{{{\left( {3\,\,\sqrt{{\,7}}\,\,\,+\,\,2} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left[ {3\,\sqrt{{\,7}}} \right]}}^{2}}\,\,\,-\,\,\,{{2}^{2}}}}=\frac{{{{{\left( {3\,\,\sqrt{{\,7}}\,} \right)}}^{2}}+2\times \left( {3\,\,\sqrt{{\,7}}\,} \right)\times 2+{{2}^{2}}}}{{9\times 7\,\,\,-\,\,\,4}}=\frac{{67+12\sqrt{7}}}{{59}}\)

Ejemplo resuelto 3-B

Racionalizar denominador en:

\(\frac{{2x-3}}{{1+\sqrt{x}}}\)

Respuesta

El factor de racionalización es \(1-\sqrt{x}\):

\(\frac{{2x-3}}{{1+\sqrt{x}}}=\frac{{2x-3}}{{1+\sqrt{x}}}\times \left( {\frac{{1-\sqrt{x}}}{{1-\sqrt{x}}}} \right)=\frac{{\left( {2x-3} \right)\cdot \left( {1-\sqrt{x}} \right)}}{{\left( {1+\sqrt{x}} \right)\cdot \left( {1-\sqrt{x}} \right)}}=\frac{{\left( {2x-3} \right)\cdot \left( {1-\sqrt{x}} \right)}}{{1-{{{\left( {\sqrt{x}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{\left( {2x-3} \right)\cdot \left( {1-\sqrt{x}} \right)}}{{1-x}}\,\)

De ser preciso, se puede desarrollar el numerador mediante la propiedad distributiva. Esto se deja como ejercicio para el lector.

4) Denominador de la forma \(\sqrt[3]{a}\mp \sqrt[3]{b}\)

Para racionalizar este denominador se usa el siguiente producto notable:

\(a\mp b=(\,\sqrt[3]{a}\mp \sqrt[3]{b})\left( {\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}\pm \sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}} \right)\)

Como en el denominador está la expresión \(\sqrt[3]{a}\mp \sqrt[3]{b}\), entonces al multiplicar arriba y abajo por esta otra expresión se elimina la raíz:

\(\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}\pm \sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}\)

Este factor de racionalización hace que el denominador se transforme simplemente en \(a\mp b\) y ya quedan eliminadas las raíces cuadradas, como se muestra seguidamente para el caso del denominador con signo negativo:

\(\frac{1}{{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}}=\frac{1}{{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}}\times \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}+\sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}}}{{\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}+\sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}}}} \right)=\frac{{\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}+\sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}}}{{a-b}}\)
O bien:

\(\frac{1}{{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}}=\frac{1}{{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}}\times \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}-\sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}}}{{\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}-\sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}}}} \right)=\frac{{\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}-\sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}}}{{a+b}}\)

Ejemplo resuelto 4

Racionalizar el denominador en:

\(\frac{{1-x}}{{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}}\)

Respuesta

En este ejemplo, a = 2, b = 3 y el signo en el denominador es negativo, por lo tanto:

\(\frac{1}{{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}}=\frac{{1-x}}{{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}}\times \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{2}^{2}}}}+\sqrt[3]{{2\cdot 3}}+\sqrt[3]{{{{3}^{2}}}}}}{{\sqrt[3]{{{{2}^{2}}}}+\sqrt[3]{{2\cdot 3}}+\sqrt[3]{{{{3}^{2}}}}}}} \right)=\frac{{(1-x)\left( {\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}} \right)}}{{2-3}}=-(1-x)\left( {\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}} \right)\)

Ejemplo resuelto 6

Racionalizar el numerador de esta expresión:

\(\frac{{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2}}}{{x+2}}\)

Respuesta

Se plantea de la misma forma en que se hace al racionalizar el denominador. En este caso particular se escoge la variante del producto notable con signo positivo en el binomio de raíces cúbicas. Además, a = x y b = 2, por lo que resulta:

\(\frac{{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2}}}{{x+2}}=\frac{{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2}}}{{x+2}}\times \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{{2x}}+\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{{2x}}+\sqrt[3]{4}}}} \right)=\frac{{x+2}}{{\left( {x+2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{{2x}}+\sqrt[3]{4}} \right)}}=\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{{2x}}+\sqrt[3]{4}}}\)

Miscelánea de ejercicios

La práctica con diferentes ejercicios hará que se identifique más fácilmente el procedimiento adecuado. Por eso a continuación aparece una miscelánea de ejercicios que el lector puede intentar resolver por su cuenta, antes de ver la solución más adelante:

Se pide racionalizar el denominador de las expresiones propuestas y simplificar el resultado:

Ejercicio a

\(\frac{1}{{\sqrt{5}}}\)

Respuesta a

El factor de racionalización es \(\sqrt{5}\):

\(\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}\times \frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\)

Ejercicio b

b) \(\frac{{6x}}{{\sqrt{{3x}}}}\)

Respuesta b

En este caso, el factor de racionalización es \(\sqrt{{3x}}\):

\(\frac{{6x}}{{\sqrt{{3x}}}}=\frac{{6x}}{{\sqrt{{3x}}}}\times \frac{{\sqrt{{3x}}}}{{\sqrt{{3x}}}}=\frac{{6x\sqrt{{3x}}}}{{3x}}=2\sqrt{{3x}}\)

Ejercicio c

c) \(\frac{1}{{\sqrt[4]{{{{x}^{3}}}}}}\)

Respuesta c

Para esta expresión, el factor de racionalización es \(\sqrt[4]{x}\):

\(\frac{1}{{\sqrt[4]{{{{x}^{3}}}}}}=\frac{1}{{\sqrt[4]{{{{x}^{3}}}}}}\times \frac{{\sqrt[4]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}}=\frac{{\sqrt[4]{x}}}{{\sqrt[4]{{{{x}^{4}}}}}}=\frac{{\sqrt[4]{x}}}{x}\)

Ejercicio d

d) \(\frac{4}{{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{{11}}}}\)

Respuesta d

Al tratarse de la diferencia entre dos raíces cúbicas, el factor de racionalización es:

\(\sqrt[3]{{{{a}^{2}}}}+\sqrt[3]{{ab}}+\sqrt[3]{{{{b}^{2}}}}\)

Con a = 3 y b = 11, entonces:

\(\begin{array}{l}\frac{4}{{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{{11}}}}=\frac{4}{{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{{11}}}}\times \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{3}^{2}}}}+\sqrt[3]{{3\cdot 11}}+\sqrt[3]{{{{{11}}^{2}}}}}}{{\sqrt[3]{{{{3}^{2}}}}+\sqrt[3]{{3\cdot 11}}+\sqrt[3]{{{{{11}}^{2}}}}}}} \right)=\frac{{4\times \left( {\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{{33}}+\sqrt[3]{{121}}} \right)}}{{3-11}}=\\=\frac{{4\times \left( {\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{{33}}+\sqrt[3]{{121}}} \right)}}{{-8}}=-\frac{{\left( {\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{{33}}+\sqrt[3]{{121}}} \right)}}{2}\end{array}\)

Ejercicio e

e) \(\frac{{9y-4{{x}^{2}}}}{{2x-3\sqrt{y}}}\)

Respuesta e

El factor de racionalización buscado es el conjugado del denominador:

\(2x+3\sqrt{y}\)

Por lo tanto:

\(\begin{array}{l}\frac{{9y-4{{x}^{2}}}}{{2x-3\sqrt{y}}}=\frac{{9y-4{{x}^{2}}}}{{2x-3\sqrt{y}}}\times \left( {\frac{{2x+3\sqrt{y}}}{{2x+3\sqrt{y}}}} \right)=\frac{{\left( {9y-4{{x}^{2}}} \right)\left( {2x+3\sqrt{y}} \right)}}{{{{{\left( {2x} \right)}}^{2}}-{{{\left( {3\sqrt{y}} \right)}}^{2}}}}=\\=\frac{{\left( {9y-4{{x}^{2}}} \right)\left( {2x+3\sqrt{y}} \right)}}{{4{{x}^{2}}-9y}}=\frac{{\left( {9y-4{{x}^{2}}} \right)\left( {2x+3\sqrt{y}} \right)}}{{-\left( {9y-4{{x}^{2}}} \right)}}=-\left( {2x+3\sqrt{y}} \right)\end{array}\)