Definición de Ecuación Cuadrática/de Segundo Grado
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias
Una ecuación de segundo grado o en su defecto cuadrática, respecto de una incógnita, está expresada en la forma:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Donde la incógnita es \(x\), en cuanto \(a,b\) y c son constantes reales, con \(a \ne 0.\)
Existen varias técnicas para resolver ecuaciones cuadráticas, entre ellas la factorización, en cuyo caso debemos tomar en cuenta la siguiente propiedad conforme la resolución:
Si el producto de dos números es cero entonces existen dos posibilidades:
1. Ambos son iguales a cero.
2. Si uno es distinto de cero entonces el otro es cero
Lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:
Si \(pq = 0\) entonces \(p = 0\) o \(q = 0\).
Ejemplo práctico 1: resolver la ecuación \({x^2} – 8\)=0
| \({x^2} – 8 = 0\) | Situación inicial |
| \({x^2} – 8 + 8 = 8\) | Se suma 8 en ambos lados de la ecuación para despejar \({x^2}\) |
| \(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \) | Se saca raíz cuadrada buscando despejar \(x.\) Se factoriza 8 y se aplica propiedades de radicales y potencias |
| \(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \) | Se obtiene la raíz de \({x^2}\) |
| \(x = \pm 2\sqrt 2 \) |
Las soluciones de \({x^2} – 8\)=0 son:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)
Ejemplo práctico 2: Resolver la ecuación \({x^2} – 144\)=0
| \({x^2} – 144 = 0\) | Situación inicial |
| \({x^2} – {12^2} = 0\) | La raíz cuadrada de 144 es 12 Se identifica una diferencia de cuadrados |
| \(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\) | Se factoriza la diferencia de cuadrados |
| \(x + 12 = 0\) \(x = – 12\) |
Se considera la posibilidad de que el factor \(x + 12\) sea igual a 0. Se resuelve la ecuación obtenida. |
| \(x – 12 = 0\) \(x = 12\) |
Se considera la posibilidad de que el factor \(x – 12\) sea igual a 0. Se resuelve la ecuación obtenida. |
Las soluciones de la ecuación \({x^2} – 144 = 0\) son
\(x = – 12,\;12\)
Ejemplo práctico 3: resolver la ecuación \({x^2} + 3x = 0\)
| \({x^2} + 3x = 0\) | Situación inicial |
| \(x\left( {x + 3} \right) = 0\) | Se identifica a \(x\) como factor común y se realiza la factorización. |
| \(x = 0\) | Se considera la posibilidad de que el factor \(x\) sea igual a 0. |
| \(x + 3 = 0\) \(x = – 3\) |
Se considera la posibilidad de que el factor \(x – 12\) sea igual a 0. Se resuelve la ecuación obtenida. |
Las soluciones de la ecuación \({x^2} + 3x = 0\), son:
\(x = – 3,0\)
Ejemplo práctico 4: Resolver la ecuación \({x^2} – 14x + 49 = 0\)
| \({x^2} – 14x + 49 = 0\) | Situación inicial |
| \({x^2} – 14x + {7^2} = 0\) | La raíz de cuadrada de 49 es 7 y \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Se identifica un trinomio al cuadrado perfecto. |
| \({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\) | Se expresa al trinomio al cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado. |
| \(x – 7 = 0\) \(x = 7\) |
La solución de \({x^2} – 14x + 49 = 0\) es:
\(x = 7\)
Ejemplo práctico 5: Resolver la ecuación \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)
| \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) | Situación inicial |
| \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) | El producto \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\) |
| \(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\) | Se expresa a \( – 23x = – 18x – 15\) |
| \(2x\left( {5x – 4} \right) – 3\left( {5x – 4} \right) = 0\) | Se identifica a \(2x\) como factor común en el primer sumando y se factoriza. Se identifica a \( – 3\) como factor común en el segundo sumando y se factoriza. |
| \(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\) | Se factoriza el factor común \(5x – 4\) |
| \(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\) |
Se considera la posibilidad de que el factor \(5x – 12\) sea igual a 0. Se resuelve la ecuación obtenida. |
| \(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\) |
Se considera la posibilidad de que el factor \(2x – 3\) sea igual a 0. Se resuelve la ecuación obtenida. |
Las soluciones de \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) son:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)
Ejemplo práctico 6: Resolver la ecuación \({x^2} + 4x + 1 = 0\)
| \({x^2} + 4x + 1 = 0\) | Situación inicial El trinomio no es un cuadrado perfecto |
| \({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\) | Se suma -1 a cada lado de la ecuación. |
| \({x^2} + 4x = – 1\) | Como \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) al sumar \({2^2}\), obtenemos un cuadrado perfecto. |
| \({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\) | Se suma \({2^2}\;\) a cado lado de la ecuación. El lado izquierdo es un cuadrado perfecto. |
| \({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\) | Se expresa al trinomio al cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado. |
| \(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \) | Se saca raíz cuadrada a cada lado de la ecuación |
| \(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \) |
Se despeja \(x\). |
Las soluciones de \({x^2} + 4x + 1 = 0\) son:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)
Ejemplo práctico 7: Resolver la ecuación \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)
| \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) | Situación inicial El trinomio no es un cuadrado perfecto. |
| \(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\) | Se suma 1 a cada lado de la ecuación |
| \(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\) | Se multiplica por a cada lado de la ecuación para que el coeficiente de \({x^2}\) sea igual a 1. |
| \({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\) | Se distribuye el producto Como \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), al sumar \({\left( {\frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) se obtiene un trinomio cuadrado perfecto |
| \({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\) | Se suma 3 en ambos lados de la ecuación para despejar \({\left( {x + 2} \right)^2}\) |
| \({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\) | Se expresa el trinomio al cuadrado perfecto como un binomio al cubo. |
| \(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \) | Se saca raíz cuadrada a cada lado de la ecuación |
| \(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\) | Se despeja \(x\). |
Las soluciones de \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) son:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)
El procedimiento usado en la ecuación anterior se usará para encontrar lo que se llama fórmula general de soluciones cuadráticas.
Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado.
Fórmula general de las ecuaciones cuadráticas
En esta sección encontraremos como resolver, de manera general una ecuación cuadrática
Con \(a \ne 0\) consideremos la ecuación \(a{x^2} + bx + c = 0\).
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)
Como \(a \ne 0\) basta con resolver:
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
| \({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\) | Situación inicial |
| \({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\) | Se suma \( – \frac{c}{a}\) a cada lado de la ecuación. |
| \({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\) | Como \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), al sumar \({\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. |
| \({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\) | El lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto. |
| \({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{a^2}}}\) | Se expresa el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado. Se realiza la fracción algebraica. |
| \(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{a^2}}}} \) | Se saca raíz cuadrada a cada lado de la ecuación. |
| \(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\) | Se aplican propiedades de radicales. |
| \(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\) | Se aplican propiedades de valor absoluto. |
| \(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\) | A cada lado de la ecuación se suma \( – \frac{b}{{2a}}\) para despejar \(x\) |
| \(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\) | Se realiza la fracción algebraica. |
El término \({b^2} – 4{a^2}c\) es llamado discriminante de la ecuación cuadrática \(a{x^2} + bx + c = 0\).
Cuando el discriminante de la ecuación anterior es negativo las soluciones son números complejos y no tiene soluciones reales. Las soluciones complejas no se tratarán en esta nota.
Dada la ecuación cuadrática \(a{x^2} + bx + c = 0\), si \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Entonces las soluciones de esta ecuación son:
\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)
\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)
La expresión:
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)
Es llamada Fórmula General de la ecuación cuadrática.
Ejemplo práctico 8: resolver la ecuación \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | Discriminante | Soluciones reales |
|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \( – 2\) | \( – 5\) | \({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\) | \(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8}}{6}\) |
Las soluciones de la ecuación son:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)
Ejemplo práctico 9: Resolver la ecuación \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | Discriminante | Soluciones reales |
|---|---|---|---|---|
| \( – 4\) | 3 | 9 | \({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\left( {17} \right)\) |
\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\) |
Las soluciones de la ecuación son:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)
Ejemplo práctico 10: Resolver la ecuación \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | Discriminante | Soluciones reales |
|---|---|---|---|---|
| \(5\) | -4 | \(1\) | \({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\) | No tiene |
Ecuaciones Diversas
Existen ecuaciones no cuadráticas que se pueden llevar a una ecuación cuadrática veremos dos casos.
Ejemplo práctico 11: Encontrar las soluciones reales de la ecuación \(6x = 5 – 13\sqrt x \)
Haciendo el cambio de variable \(y = \sqrt x \), la ecuación anterior queda como:
\(6{y^2} = 5 – 13y\)
\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)
\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)
\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)
\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)
Por lo cual \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).
Como \(\sqrt x \) sólo denota valores positivos, sólo consideraremos:
\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)
Respuesta:
La única solución real es:
\(x = \frac{1}{9}\)
Ejemplo práctico 12: Resolver la ecuación \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6}\)
Haciendo el cambio de variable:
\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)
Obtenemos la ecuación:
\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)
\(6{y^2} – 6 = 5y\)
\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)
\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)
\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)
\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)
Los valores posibles son de \(y\) son:
\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)
De las anteriores sólo consideraremos la solución positiva.
\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)
\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)
\(4x = 9x – 45\)
\(5x = 45\)
\(x = 9.\)
Las soluciones son \(x = 9.\)
Trabajo publicado en: Dic., 2022.
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