Ecuaciones de Primer Grado Significado, Elementos, y Ejercicios

  • Por Rebeca Fernández (Licenciada en Física)
  • Nov, 2020
  • ¿Qué implica y determina las ecuaciones de primer grado?

    Consisten en la igualdad de dos expresiones algebraicas lineales, en las cuales hay una o más incógnitas, usualmente denominadas con letras del abecedario, como “x”, “y”,“z”… y cuya potencia es igual a 1. Dicha igualdad es válida para determinados valores de las incógnitas y la meta es encontrarlos.

    Los matemáticos árabes de la antigüedad fueron los primeros en estudiar las ecuaciones de primer grado y en hallar métodos de resolución. En sus tratados, a la incógnita de la ecuación la llamaron “la cosa”, una expresión que los traductores de la España medieval encontraron parecida a como sonaba la “x” castellana en aquellos tiempos. De allí se cree que proviene la costumbre de nombrar a una cantidad desconocida como “x”. Como ejemplos con una y dos incógnitas es posible observar:

    • x + 1 = 2
    • x + 5y = 3
    • 2x + 5 = 3
    • -3(7x -8) = 4x – 1/2

    Elementos de la ecuación de primer grado

    Antes de buscar métodos de resolución, es conveniente reconocer los elementos de una ecuación de primer grado.

    • Miembros de la ecuación: son las expresiones que se encuentran a la izquierda y a la derecha de la igualdad.

    • Términos: componen a cada uno de los miembros y están separados por signos de suma y resta.

    • Incógnitas: son parte literal de la ecuación.

    • Soluciones: los valores numéricos de las incógnitas que verifican la igualdad.

    Ejemplo práctico: En la ecuación 2x + 5 = 3 . El miembro de la izquierda es 2x + 5, y el de la derecha es 3. El miembro izquierdo tiene dos términos, 2x y 5, mientras que el de la izquierda solamente tiene al 3. Por su parte la incógnita es “x” y se puede comprobar, por sustitución, que la solución de la ecuación es x = −1.

    2∙(−1) + 5 = 3
    −2 +5 = 3
    3 = 3

    Ecuaciones de primer grado con una sola incógnita

    Su forma general es:

    a∙x + b = 0, con a≠ 0, un número real.

    Para encontrar la solución, puede ser necesario eliminar signos de agrupación si los hay, operar, trasponer términos y simplificar. En general, los pasos a seguir son los siguientes, aunque no siempre es preciso aplicarlos todos a la vez:

    Paso 1

    Eliminar, si los hay, los signos de agrupación como llaves, corchetes y paréntesis.

    Paso 2

    En caso de que se presenten denominadores, también conviene eliminarlos para trabajar con números enteros.

    Paso 3

    Agrupar todos los términos que contienen a la incógnita a un solo lado de la igualdad, dejando los términos independientes en el otro.

    Paso 4

    Reducir los términos semejantes a ambos lados de la igualdad.

    Paso 5

    Finalmente despejar la incógnita.

    Ejercicios resueltos

    Ejercicio 1: Resolver la ecuación: x + 5 = 9

    Procedimiento

    Esta es una ecuación sencilla que no tiene símbolos de agrupación ni denominadores. Para despejar la incógnita, se puede aprovechar el hecho de que al sumar algebraicamente el mismo término a ambos lados de la igualdad no altera la expresión. Por lo tanto se puede sumar -5 en ambos miembros:

    x + 5 −5 = 9 −5
    x = 4

    La solución de la ecuación es x = 4, que se puede verificar sustituyendo en la expresión original:

    4 + 5 = 9
    9 = 9

    Ejercicio 2: Hallar el valor de la incógnita en la ecuación

    Procedimiento

    Esta ecuación de primer grado tiene denominadores y aunque puede trabajarse de este modo, lo más conveniente es quitarlos. Si se multiplica a ambos lados de la igualdad por un mismo valor, esta no se altera, por lo tanto se multiplica por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores;

    • mcm (6,2) = 6

    Por lo tanto:

    Aplicando la propiedad distributiva para el término −3∙(x+1)= −3x − 3 y retirando paréntesis, queda:

    2x −1 − 3x – 3 = −12

    Ahora hay que trasponer términos, para dejar todos los que contengan la incógnita de un mismo lado de la igualdad:

    2x − 3x = −12 + 1 + 3

    − x = − 8

    Finalmente, se multiplica a ambos lados de la igualdad por −1 para eliminar el signo negativo y despejar la incógnita:

    x = 8

    Es fácil comprobar que x = 8 satisface la igualdad, sustituyendo este valor en la expresión original.

    Aplicaciones

    Durante la temporada de recolectar manzanas se llenaron tres cestas con un total de 675 manzanas. La primera de ella tiene 10 manzanas más que la segunda y 15 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesta?

    Resolución

    Sea “x” la cantidad de manzanas que hay en la primera cesta. Como tiene 10 manzanas más que la segunda, en esta hay (x–10) manzanas. Y como tiene 15 manzanas más que la tercera, en esta otra hay (x – 15) manzanas.

    La suma de las manzanas en las tres cestas debe ser igual a 575, por lo tanto:

    x + (x–10) + (x –15) = 575

    Esta es una ecuación de primer grado en x, que se resuelve siguiendo los pasos descritos.

    Como hay signos de agrupación, hay que eliminarlos, lo cual se hace directamente, pues están precedidos por un signo +.

    x + x–10 + x –15 = 575

    Ahora se agrupan todos los términos que contienen la incógnita del lado izquierdo de la igualdad, y los términos independientes del lado derecho:

    x + x + x = 575 + 10 + 15

    Se reducen los términos semejantes:

    3x = 600
    x = 600/3 =200

    La primera canasta tiene 200 manzanas, la segunda 200 – 10 = 190 manzanas y la tercera tiene 200- 15 = 185 manzanas. El total de manzanas en las tres cestas es:

    200 + 190 + 185 = 575