Definición de Geometría No Euclídea

Lilén Gomez
Profesora en Filosofía

Por geometría no euclídea se entiende, en sentido amplio, cualquier geometría que demuestre al menos un teorema incompatible con algún teorema de Euclides; y, en sentido estricto, es la geometría que resulta de mantener los primeros cuatro postulados de Euclides, pero reemplazando el quinto por su negación u otro postulado incompatible.

Básicamente, las geometrías no euclídeas son aquellas que surgen del cuestionamiento del llamado 5° Postulado de Euclides, por lo tanto resulta esencial una caracterización general de la obra de Euclides, quien fuera un matemático y geómetra griego, cuyo trabajo es paradigmática para la Geometría, para considerarse uno de sus fundadores. Se sabe con cierta seguridad que vivió en la ciudad de Alejandría, foco cultural de la Antigüedad, hacia el año 300 a. C.

Su obra Elementos comienza con una serie de “principios”, compuesta por una lista de 23 definiciones; seguida por 5 postulados, referidos a figuras específicamente geométricas; y 5 axiomas generales, comunes a otras disciplinas matemáticas. A continuación, luego de los principios, Euclides introduce las “proposiciones”, de dos tipos: problemas, referidos a la construcción de figuras con regla y compás; y teoremas, referidos a la demostración de las propiedades que tienen algunas figuras geométricas.

El quinto postulado de Euclídes

Afirma que “si una recta que cae sobre otras dos rectas hace a los ángulos interiores de un mismo lado menores que dos rectos, entonces, si las dos rectas se prolongan indefinidamente, se encuentran del lado en el que los ángulos son menores que dos rectos”. Si los ángulos fueran rectos, entonces, tales rectas, de acuerdo con la definición n° 23, serían paralelas (“paralelas son las rectas que si están en el mismo plano y se prolongan indefinidamente no se encuentran en ninguna dirección”).

Este postulado, de mayor complejidad que los anteriores, no resultaba indudable por sí mismo: no era evidente que, prolongando indefinidamente las rectas, éstas se cortarían del lado en que los ángulos eran menores a dos rectos, ya que no sería posible probarlo por construcción. Luego, la posibilidad de que las rectas se aproximaran indefinidamente sin jamás cortarse quedaba abierta.

Los intentos por demostrar el quinto postulado

Es por esa razón que, desde la Antigüedad y hasta mediados del siglo XIX, hubo una seguidilla de intentos fallidos por demostrar el quinto postulado: siempre se lograba una demostración; pero introduciendo algún otro postulado adicional (lógicamente equivalente al quinto), diferente a los de Euclides. Es decir, no se podía demostrar el quinto postulado, sino que se lo reemplazaba por otro equivalente.

Un ejemplo de ello es el postulado de John Playfair (s. XVIII): “Por un punto exterior a una recta que está en el mismo plano pasa una sola paralela a esa recta” (conocido como “postulado de las paralelas”). Las geometrías no euclídeas surgen, precisamente, de los intentos fallidos por demostrar el quinto postulado del sistema euclidiano.

La prueba por el absurdo de Saccheri

En 1733, el matemático italiano Girolamo Saccheri intentó hacer una prueba por el absurdo del quinto postulado de Euclides. Para ello, construyó un cuadrilátero (conocido como “cuadrilátero de Saccheri”, en el cual un par de ángulos son rectos) y planteó que el quinto postulado es equivalente a la proposición de que los ángulos característicos (los opuestos al par de ángulos rectos) de ese cuadrilátero son también rectos. Luego, hay tres hipótesis posibles, excluyentes entre sí: que los dos ángulos característicos sean rectos, agudos u obtusos. Para demostrar el quinto postulado por el absurdo, era necesario probar (sin recurrir al quinto postulado) que las hipótesis del ángulo obtuso y agudo implicaban contradicción y, por lo tanto, eran falsas.

Saccheri logró probar que la hipótesis del ángulo obtuso es contradictoria, pero no lo logró en el caso del ángulo agudo. Por el contrario, dedujo una serie de teoremas consistentes e incompatibles con la geometría euclidiana. Finalmente, concluyó que, dada la extrañeza de dichos teoremas, la hipótesis debía ser falsa. Por consiguiente, creyó haber probado por el absurdo el quinto postulado; sin embargo, lo que hizo fue demostrar, sin advertirlo, un conjunto importante de teoremas de geometría no euclídea.

El descubrimiento “simultáneo” de las geometrías no euclídeas

Carl F. Gauss, en el siglo XIX, fue el primero en sospechar que el quinto postulado no podía probarse a partir de los otros cuatro (es decir, que era independiente) y en concebir la posibilidad de una geometría no euclídea que estuviera basada en los cuatro postulados euclídeos y en la negación del quinto. Nunca publicó su descubrimiento: éste se considera un caso de descubrimiento simultáneo, porque tuvo tres referentes independientes (el propio Gauss, János Bolyai y Nikolai Lobachevsky).

La negación a la quinta ley de Euclídeas implica dos posibilidades (retomando la formulación equivalente de Playfair): por un punto exterior a una recta, o bien, no pasa ninguna paralela, o bien, pasa más de una paralela. Entre las geometrías no euclídeas encontramos, por ejemplo, la geometría “imaginaria” de Lobachevsky, —luego conocida como “hiperbólica”— según la cual, “dado un punto exterior a una recta, por ese punto pasan infinitas rectas intersectantes, infinitas rectas no intersectantes y solamente dos paralelas”, a diferencia de la única paralela euclidiana; o la geometría elíptica de Bernhard Riemann, que afirma que “por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a dicha recta”.

Aplicaciones e implicancias del descubrimiento

Actualmente, se sabe que, en el espacio local, ambas geometrías arrojan resultados aproximados. Las diferencias aparecen cuando el espacio físico se describe mediante una u otra geometría, considerando grandes distancias. Si bien seguimos utilizando la geometría euclídea, pues es la que describe de manera más simple nuestro espacio a escala local, el descubrimiento de las geometrías no euclídeas fue decisivo en la medida en que significó una transformación radical de la comprensión de las verdades científicas.

Hasta ese entonces, se pensaba que la geometría euclídea describía de manera verdadera el espacio. Al probarse la posibilidad de describirlo mediante otra geometría, con otros postulados, fue necesario replantear los criterios por los cuales era posible asumir una explicación u otra como “verdadera”.

Por: Lilén Gomez. Profesora en Filosofía, Universidad de Buenos Aires, Argentina. Desempeño en el ámbito de la docencia y la investigación, en áreas de la Filosofía Contemporánea.

Trabajo publicado en: Mar., 2022.

Datos para citar en modelo APA: Gomez, L. (marzo, 2022). Definición de Geometría No Euclídea. Significado.com. Desde https://significado.com/geometria-no-euclidea/