Jerarquía de Operaciones Significado, Reglas, PEDMAS, Signos, y Ejemplos

Significado: ¿Qué implica la jerarquía de operaciones?

Es el orden establecido que tiene que respetarse de acuerdo a la resolución de un cálculo aritmético que puede tener distintos símbolos, con la finalidad de obtener el resultado correcto. Los símbolos representan las acciones de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces, así como los vistos para agrupación (paréntesis, corchetes y llaves). Es muy importante conocer y aplicarlo, ya que de lo contrario el resultado puede ser dudoso, como se observa al intentar resolver esta simple operación

2 + 4 × 6

Para lograr la respuesta se puede proceder de la forma correcta o no, evidenciando la diferencia en el uso o no de la jerarquía

Procedimiento 1
(2 + 4) × 6 = 6 × 6 = 36

Procedimiento 2
2 + (4 × 6) = 2 + 24 = 26

¿Cuál es el resultado correcto? Es el del procedimiento 2, porque la jerarquía de operaciones establece que primero se resuelven los productos, y luego las sumas.

Nótese cómo los paréntesis ayudan a visualizar mejor la operación en el procedimiento 2, resaltando que primero hay que efectuar el producto (4 × 6) = 24 y lo que resulte se suma con 2, para obtener 26. El lector puede comprobar la operación con la calculadora, tanto con paréntesis como sin ellos. Las calculadoras están programadas para usar la jerarquía de operaciones.

Reglas de la jerarquía de operaciones

1.- En primer lugar, se eliminan los signos de agrupación, como llaves, paréntesis y corchetes, si los hay, comenzando por los más internos. Si la operación no contiene signos de agrupación, pasar al siguiente nivel.

2.- Resolver los exponentes y las raíces.

3.- Efectuar las multiplicaciones y las divisiones.

4.- Por último, ejecutar las adiciones y sustracciones.

Si hay varias operaciones con la misma jerarquía, entonces se resuelven de izquierda a derecha. Como se puede ver, la jerarquía de operaciones consiste en una serie de convenciones, que busca eliminar ambigüedades para que todo el mundo obtenga igual resultado al efectuar una misma operación.

PEDMAS

En el texto se resaltaron en negrita las siguientes palabras. Ellas servirán como recordatorio de la jerarquía de operaciones:

• Paréntesis
• Exponentes
• Multiplicaciones y divisiones
• Adiciones y sustracciones

De estas palabras se seleccionan las letras iniciales marcadas en negrita para construir una expresión, a modo de recurso nemotécnico (que ayuda a la memoria): P-E-M-D-A-S

Naturalmente se pueden construir otras expresiones como recurso para recordar el orden, el lector puede crear sus propias oraciones originales.

Observaciones y recomendaciones

• Los signos de agrupación se usan para mantener el orden y visualizar fácilmente las operaciones, como en el ejemplo del comienzo. Puede que la operación a realizar incluya los signos desde el comienzo, pero si no, se pueden añadir para mayor claridad.

• No necesariamente una misma operación contiene todos los signos de agrupación y operaciones aritméticas, aunque igualmente hay que respetar el orden establecido para las que aparecen.

• A veces una misma operación requiere ser resuelta en etapas, en ese caso se respeta el orden de aparición de cada resultado. Igualmente debe emplearse el signo de igualdad “=” cuando corresponda para separar los pasos intermedios, hasta finalizar los cálculos (ver ejemplos resueltos al final).

• Muchas veces delante de un número o un paréntesis no hay un símbolo, en tal caso se toma como si fuese un signo +.

• Si entre un número y un paréntesis, corchete o llave no hay símbolo, se entiende que es un producto. Ejemplo: 2(4 – 1) = 2 × (4 – 1) = 2 ∙ (4 – 1) = 6.

• Nunca se escriben seguidos dos signos de (+) y (−), o de (×/÷) y (−), siempre hay que intercalar un paréntesis. Ejemplos: 2 + (−6); 3× (−12).

Leyes de los signos

Se aplican siempre que se requieran:

1) Al sumar dos números de igual signo, se suman normalmente y el resultado lleva el signo de los números. Ejemplo: –11 – 4 = –15

2) Si se suman dos números de diferente signo, se restan y el resultado lleva el signo del mayor de los números. Ejemplo: –36 + 17 = –19

3) El producto o el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo. Ejemplo: (–5) × (–12) = 60

4) Si dos números tienen signos diferentes, su producto o cociente es negativo. Ejemplo: 8 × (–15) = –120.

5) En el caso de las potencias, cuando la base es negativa y el exponente es par, el resultado es positivo siempre, pero si el exponente es impar, el resultado es negativo. Ejemplos: (–7)2 = 49; (–3)3 = –27. Cuando la base es positiva, el resultado es positivo sin importar la paridad del exponente. Ejemplos: 22 = 4, 53 = 125.

Ejemplos prácticos de cálculo

Resolver las siguientes operaciones respetando la jerarquía de las operaciones:

a) 6 × 5 + 4 × (−3)

b) 32 – (−15) ÷ 5 + 3×10

c) 4 × [5 − (−3)2 + (8−5)] + 25

Respuestas

a) 6 × 5 + 4 × (−3) = 30 – 12 = 18

b) 32 – (−15) ÷ 5 + 3×10 = 9 – (−15) ÷ 5 + 3×10 = 9 – (−3) + 30 = 9 + 3 + 30 = 42

c) 4 × [5 − (−3)2 + (8−5)] + 25 = 4 × [5 – 9 + (8−5)] + 25 = 4 × [5 – 9 + 3] + 25 = 4 × [ – 1] + 25 = – 4 + 25 = 21