Logaritmo Definición, Propiedades y Función Logarítmica

Definición: ¿A qué remite logaritmo?

La forma más sencilla e intuitiva de definir una función logarítmica es como inversa de una función exponencial. Supongamos que tenemos una expresión de la forma

Entonces si conocemos x (digamos x=3), es sencillo calcular . Si en cambio conocemos y, ¿cómo calculamos el valor de x? Aquí es donde entra en juego el logaritmo, que esencialmente viene a responder la pregunta: ¿a qué potencia tengo que elevar a para obtener y? De hecho,

La expresión de la derecha se lee «el logaritmo de y en base a es igual a x«, donde la palabra «base» hace referencia a la base de la potencia asociada al logaritmo. Podemos encontrar también al logaritmo escrito como log o ln, sin especificar la base. En este caso la base de la potencia asociada es el número e.

Veamos ahora algunas propiedades del logaritmo y junto con algunas explicaciones que nos servirán para recordarlas.

Propiedades del logaritmo

Consideremos los números positivos e . Entonces, el logaritmo cumple las siguientes propiedades.

1. para cualquier valor de a. Esto es cierto pues es la solución de la ecuación .

2.

Dado que implica por definición que y que , entonces . Aplicando de nuevo la definición de logaritmo, .

3.

Esta propiedad puede demostrarse igual que la anterior, recordando que .

4.

Supongamos que . Entonces , lo que equivale a , y por definición de logaritmo, . Finalmente reemplazamos p y obtenemos .

5.

Esta propiedad se demuestra de forma análoga a la anterior.

6.

El cambio de base del logaritmo puede demostrarse usando la propiedad 3: .

Función logarítmica

La definición de logaritmo puede extenderse de manera inmediata al campo de las funciones, donde se define como la función inversa de .

La función logarítmica está definida sólo el intervalo , puesto que definirla para implicaría encontrar un número y tal que , que no existe en los números reales dado que .

Desde luego, la función logarítmica cumple con todas las propiedades enunciadas en la sección anterior, además de algunas otras:

1.

2. es diferenciable (y por lo tanto continua) en

3.

4.

Notemos que las últimas propiedades sólo valen para la función logarítmica definida a partir de la base e, que desde el punto de vista práctico es muy conveniente, dado que la función tiene propiedades muy útiles, como ser su propia derivada. Sin embargo, si nos encontramos con otro logaritmo en estas circunstancias, podemos simplemente hacer un cambio de base utilizando la propiedad 6 de la sección anterior, de modo que

De esta manera, resulta simplemente una constante positiva, y cuenta con todas las propiedades aquí enunciadas.