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Significado de Logaritmo Definición, Propiedades, y Función

Definición formal

La forma más sencilla e intuitiva de definir una función logarítmica es como inversa de una función exponencial.

Supongamos que tenemos una expresión de la forma

\(y = a^x\)

Entonces si conocemos x (digamos x=3), es sencillo calcular \(y = a\times a\times a\). Si en cambio conocemos y, ¿cómo calculamos el valor de x? Aquí es donde entra en juego el logaritmo, que esencialmente viene a responder la pregunta: ¿a qué potencia tengo que elevar a para obtener y? De hecho,

\(y = a^x \;\Longleftrightarrow\; \log_a y = x\)

La expresión de la derecha se lee «el logaritmo de y en base a es igual a x«, donde la palabra «base» hace referencia a la base de la potencia asociada al logaritmo. Podemos encontrar también al logaritmo escrito como log o ln, sin especificar la base. En este caso la base de la potencia asociada es el número e.

Veamos ahora algunas propiedades del logaritmo y junto con algunas explicaciones que nos servirán para recordarlas.

Propiedades del logaritmo

Consideremos los números positivos \(a, x\) e \(y \in\mathbb{R_+}\). Entonces, el logaritmo cumple las siguientes propiedades.

1. \(\log_a(1) = 0\) para cualquier valor de a. Esto es cierto pues \(\log_a(1)\) es la solución de la ecuación \(a^x=1\) .

2. \(\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\)

Dado que \(p = \log_a(x)\) implica por definición que \(a^p = x\) y que \(q = \log_a(y) \Longleftrightarrow a^q = y\), entonces \(xy = a^p a^q = a^{(p+q)}\) . Aplicando de nuevo la definición de logaritmo, \(\log_a(xy) = p+q = \log_a(x) + \log_a(y)\).

3. \(\log_a(x/y) = \log_a(x) – \log_a(y)\)

Esta propiedad puede demostrarse igual que la anterior, recordando que \(a^p/a^q = a^{(p-q)}\).

4. \(\log_a(x^y) = y\log_a(x)\)

Supongamos que \(p = \log_a(x^y)\). Entonces \(a^p = x^y\), lo que equivale a \(a^{p/y} = x\), y por definición de logaritmo, \(p/y = \log_a(x)\). Finalmente reemplazamos p y obtenemos \(\log_a(x^y)/y = \log_a(x)\).

5. \(\log_a(\sqrt[y]{x}) = \log_a(x)/y\)

Esta propiedad se demuestra de forma análoga a la anterior.

6. \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

El cambio de base del logaritmo puede demostrarse usando la propiedad 3: \(\log_b(x) = \log_b(a^{\log_a(x)}) = \log_a(x)\log_b(a)\) .

Función logarítmica

La definición de logaritmo puede extenderse de manera inmediata al campo de las funciones, donde \(f(x) = \log(x)\) se define como la función inversa de \(e^x\).

La función logarítmica está definida sólo el intervalo \((0, \infty)\), puesto que definirla para \(x<0\) implicaría encontrar un número y tal que \(e^y = x <0\), que no existe en los números reales dado que \(e>0\).

Desde luego, la función logarítmica cumple con todas las propiedades enunciadas en la sección anterior, además de algunas otras:

1. \(\lim_{x\rightarrow 0+} \log(x) = -\infty\)

2. \(\log(x)\) es diferenciable (y por lo tanto continua) en \((0,\infty)\)

3. \(\frac{\partial}{\partial x}\log(x) = \frac{1}{x}\)

4. \(\int \log(x) = x\log(x) -x +C\)

Notemos que las últimas propiedades sólo valen para la función logarítmica definida a partir de la base e, que desde el punto de vista práctico es muy conveniente, dado que la función \(e^x\) tiene propiedades muy útiles, como ser su propia derivada. Sin embargo, si nos encontramos con otro logaritmo en estas circunstancias, podemos simplemente hacer un cambio de base utilizando la propiedad 6 de la sección anterior, de modo que

\(\log_b(x) = \log(x)\log_b(e)\)

De esta manera, \(\log_b(e)\) resulta simplemente una constante positiva, y \(\log(x)\) cuenta con todas las propiedades aquí enunciadas.