Significado de momento angular Definición, fórmula, unidades, partículas, y ejemplos
Licenciada en Física
Definición formal
El momento angular es una medición clave en la dinámica capaz de vincular el vector de posición instantáneo respecto al punto O de una partícula y la cantidad de movimiento de la misma, a través del producto vectorial L = r x p, donde L es el vector momento angular, r el vector de posición y p la cantidad de movimiento (en letra negrita, para distinguirlos de las cantidades escalares).
Las unidades del momento angular en el Sistema Internacional se declaran en \(\frac{{kg\times {{m}^{2}}}}{{seg}}\)
Para su explicación, existen dos observaciones importantes. La primera es que el momento angular depende del eje de rotación, ya que el vector de posición r está dirigido desde dicho eje de rotación hasta el punto donde está la partícula. La segunda, es que el vector momento angular L es perpendicular al plano formado por los vectores r y p, por definición del producto vectorial.
El momento angular no es una magnitud exclusiva de las partículas o los objetos extendidos que giran, ya que aún un objeto moviéndose en línea recta, puede tener momento angular respecto a un determinado eje, siempre que esté fuera de la trayectoria, ya que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo.
Sabiendo que la magnitud del vector momento angular es el producto entre la masa de la partícula y su rapidez, la magnitud del vector momento angular viene dada por:
L = r∙ (mv)∙sen φ
Donde φ es el ángulo formado entre los vectores r y p. De allí se deduce que el momento angular es nulo cuando φ = 0 y φ = π radianes. En cambio, cuando r y p son perpendiculares, la magnitud de L vale:
L = mrv
Momento angular de un sistema de partículas
La definición dada puede extenderse fácilmente a un conjunto de partículas, cada una con momento angular Li, si el momento angular del sistema es la suma de los momentos angulares de cada componente:
L = L1 + L2 + L3 +…. Li = ∑ Li
Relación entre el momento angular y el momento de torsión o torque
Aunque el momento angular no es exclusivo del movimiento rotacional, sí tiene relación con el torque o momento de torsión. Denotando esta última magnitud con la letra griega τ (se lee “tau”), su expresión matemática es:
τ = r x F
Ahora bien, la fuerza equivale a la variación temporal en la cantidad de movimiento, de manera que se puede volver a escribir la fuerza como:
\(\text{ }\!\!\tau\!\!\text{ }=\text{ r}\times \frac{d\text{p}}{dt}\)
Imagen del Serway, R. Física para Ciencias e Ingeniería. 7ma edición.
Y dado que a su vez la cantidad de movimiento es el producto de la masa m por la velocidad v, se tiene:
\(\text{ }\!\!\tau\!\!\text{ }=\text{ r}\times \frac{d(m\text{v})}{dt}\)
Esta ecuación se puede reescribir de este otro modo:
\(\text{ }\!\!\tau\!\!\text{ }=\text{ r}\times \frac{d(m\text{v})}{dt}+m\text{v}\times \frac{d\text{r}}{dt}\)
Parece un tanto complicado hacer esto, pero resulta que el término añadido es nulo y no altera en absoluto a la expresión original. Ocurre que dr/dt = v, es decir, la derivada de la posición respecto al tiempo es la velocidad, y como el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo, en este caso v y v, pues entonces este último término es 0.
Pero lo bueno de añadirlo es que ahora se puede reescribir el torque de este modo, más compacto:
\(\text{ }\!\!\tau\!\!\text{ }=\text{ }\frac{d}{dt}(\text{r}\times m\text{v})\)
Y la cantidad entre paréntesis no es otra que el momento angular, por lo tanto:
\(\text{ }\!\!\tau\!\!\text{ }=\text{ }\frac{d\text{L}}{dt}\)
Lo que significa que el torque o momento de torsión equivale a la variación en el tiempo del momento angular, siempre y cuando ambos, τ y L se calculen respecto al mismo eje de rotación O.
Esta relación entre el torque τ y el momento angular L es completamente análoga a la que existe entre la fuerza F y la cantidad de movimiento p.
Relación entre el momento angular y el momento de inercia
La magnitud del momento angular de una partícula i es:
Li = mi ri vi
Suponiendo que dicha partícula forma parte de un objeto extendido que gira alrededor del eje z con velocidad angular ω, hay una relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular, dada por:
vi = ri ω
Que al ser sustituida en la magnitud del momento angular, da como resultado:
Li = mi ri (ri ω)
Como la magnitud del momento angular de todas las partículas L es:
L = ∑ Li
Resulta que:
L = ∑ mi ri (ri ω) = ∑mi ri2 ω
La velocidad angular ω es constante y sale fuera de la sumatoria:
L = ω ∑mi ri2
Mientras que la sumatoria misma es por definición el momento de inercia I o inercia rotacional del objeto:
I = ∑mi ri2
Por lo tanto, el momento angular de un objeto que rota alrededor del eje z es el cálculo sobre la inercia rotacional vista en un objeto y la velocidad angular asociada:
L = I ω
Esta definición para el momento angular es, en cierta forma, análoga a la cantidad de movimiento p = mv. El rol de la masa en la cantidad de movimiento le corresponde a la inercia rotacional y el de la velocidad lineal a la velocidad angular
Conservación del momento angular
Retornando a la expresión:
\(\text{ }\!\!\tau\!\!\text{ }=\text{ }\frac{d\text{L}}{dt}\)
Si el torque neto que actúa sobre el sistema es nulo, significa que la derivada temporal del momento angular también lo es y como la derivada de una constante es 0, pues resulta que el momento angular es una constante, en otras palabras, se conserva.
Este es el principio de conservación del momento angular y es válida para numerosos sistemas en movimiento, desde partículas subatómicas hasta sistemas estelares y galaxias.
Ejemplos
Una patinadora sobre una pista de hielo gira con velocidad angular, ¿qué debe hacer ella para aumentar su velocidad de rotación?
Si la patinadora está sobre la pista helada, es de suponer que no está afectada por torques externos, los únicos que podrían modificar su momento angular. Eso quiere decir que la patinadora es un sistema aislado.
En tal caso su momento angular se conserva. Aún así puede aumentar su velocidad de giro ω, si disminuye su inercia rotacional I, para que el producto L = Iω permanezca constante. Y lo consigue apretando sus brazos contra su cuerpo, ya que como se recordará, el momento de inercia depende del cuadrado de r, que es la distancia entre la partícula y el eje de giro.
Los clavadistas también aprovechan la conservación del momento angular para aumentar su rotación durante el clavado, haciéndose un ovillo durante una parte del descenso. En este caso la rotación se lleva a cabo respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad del cuerpo del atleta.
IMAGEN
Antes de finalizar el clavado, el atleta extiende el cuerpo, con lo que la inercia rotacional aumenta y la velocidad angular disminuye nuevamente.
La conservación del momento angular también tiene su expresión en el movimiento de los planetas alrededor del Sol, ya que es el fundamento de la segunda ley de Kepler o ley de las áreas: la línea dirigida desde el Sol al planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales, lo cual explica que la velocidad del planeta es mayor cuanto más cerca esté del Sol, y menor cuando está más alejado.
Trabajo publicado en: Nov., 2020.