Principio de Arquímedes Significado, Deducción, y Fórmula sobre la Corona de Oro

  • Por Rebeca Fernández (Licenciada en Física)
  • Nov, 2020
  • ¿Qué plantea y cómo se formula el Principio de Arquímedes?

    Establece que la fuerza de flotación o fuerza de empuje, ejercida por un fluido sobre un cuerpo que se encuentra sumergido, sea de modo total o parcial, equivale al peso del fluido desplazado por el cuerpo, lo que significa que cualquier objeto inmerso en un fluido recibe este empuje, y que depende, claro está, del tipo de fluido. El empuje es muy evidente en los líquidos como el agua, aunque el aire también ejerce uno sobre cualquier cosa sobre la superficie, solo que ese empuje es muy pequeño y se desprecia en casi todas las aplicaciones comunes.

    Se puede expresar fácilmente en forma matemática si E representa la magnitud del empuje, ρ (se lee “rho”, es una letra griega) es la densidad del fluido, V es el volumen desplazado y g la aceleración de gravedad:

    E = ρ fluido ∙V∙g

    Al ser una fuerza, el empuje también tiene dirección y sentido, además de la magnitud que se calcula con la fórmula dada. Su dirección es vertical y el sentido hacia arriba, contrario al peso.

    El principio explica por qué algunos cuerpos se hunden, mientras que otros se las arreglan para flotar. Más que por su peso, los objetos flotan o se hunden según su densidad, que es la razón masa/volumen. Dos bloques idénticos en forma, uno de madera y otro de hierro, hacen cosas distintas cuando se ponen en un recipiente lleno de agua: el primero flota, mientras que el segundo se hunde.

    El bloque de metal es más denso que el agua, no así el de madera, que es menos denso. Al tratar de hundir un poco la madera con el dedo, de inmediato se nota una especie de resistencia al hundimiento, ese es el empuje E (es vector, por eso se escribe en negrita) ejercido por el agua sobre el bloque y que alcanza para contrarrestar el peso de la madera, no así el del hierro. Algo parecido sucede con un balón o un globo inflado, son muy leves, poco densos, flotan en el agua y se resisten a ser hundidos.

    Marco histórico: ¿Cómo lo descubre Arquímedes?

    Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) fue un notable científico de la antigüedad. Vivió en la ciudad de Siracusa en la isla de Sicilia, que ahora es territorio de Italia, pero que para entonces era una colonia griega y además un destacado centro de cultura. Se cuenta que Arquímedes descubrió su famoso principio por un pedido que le hizo el rey Hieron.

    Ocurre que el rey había mandado a fabricar una corona nueva, y cuando la recibió de manos del orfebre, de inmediato comenzó a pensar que éste le había engañado y que la corona no era de oro puro. Sin embargo no podía confirmar sus sospechas sin dañar irreparablemente la corona. ¿Cómo arreglárselas para saber?

    Arquímedes ya tenía una fama bien justificada de sabio ingenioso, así que el rey pensó que no había alguien más indicado para idear la manera. Aceptado el encargo, Arquímedes se puso a pensar y a pensar, y la leyenda cuenta que la respuesta le vino a la mente mientras estaba en los baños, al percatarse repentinamente de la aparente pérdida de peso que se siente al sumergirse en el agua.

    Entonces Arquímedes saltó de inmediato de la tina y echó a correr desnudo por las calles de Siracusa rumbo al palacio del rey, al famoso grito de eureka, cuya traducción remite a “encontré” o “descubrí”.

    Deducción de la fórmula aplicada para calcular la corona del rey Hieron

    Para saber si el rey Hieron había sido engañado por el orfebre, Arquímedes pesó la corona en aire y luego la pesó completamente sumergida en agua, este es el peso aparente, menor que el primero, el que se considera peso real.

    Supóngase que la corona pesó en aire 21 N y sumergida 19.5 N. Además, se sabe de las tablas de valores que la densidad del oro y del agua, son, respectivamente:

    ρoro = 1.93 x 104 kg/m3 = 19300 kg/m3

    ρagua = 1.00 x 103 kg/m3 = 1000 kg/m3

    Con esta información y el diagrama de cuerpo libre es suficiente para responder, pues se averigua la verdadera densidad de la corona y se compara el resultado con la densidad conocida del oro. Si los dos valores difieren, la corona definitivamente no es de oro.

    En primer lugar es preciso determinar el volumen de la corona sin dañarla. Arquímedes se dio cuenta de que al sumergirla, esta desalojaba un volumen de agua equivalente.

    Aplicando la segunda ley de Newton con ayuda del diagrama de cuerpo libre se tiene:

    ∑ Fy = T + E – W = 0

    La ecuación se iguala a 0, ya que la corona se deja en equilibrio estático, sumergida totalmente en el agua, entonces:

    E = W – T

    Sustituyendo la fórmula para el empuje:

    ρagua ∙Vcorona ∙ g = W – T

    El volumen de la corona se despeja:

    Ahora bien, la densidad de la corona ρcorona es:

    El volumen de la corona ya se tiene, y la masa se puede despejar a partir de la fórmula para el peso:

    W = Mg

    M = W/g = 21.0 N/9.8 m/s2 = 2.1429 kg

    Sustituyendo en la densidad:

    ¡La densidad de la corona es de 14000 kg/m3, y es menor que la del oro, que es de 19300 kg/m3! Probablemente la corona fue fabricada con alguna aleación de oro y otro metal como plata.

    Al darse cuenta de que había sido engañado por el orfebre, el rey Hieron lo hizo ejecutar de inmediato.