Definición de Racionalización de Radicales (matemáticas)

Ángel Zamora Ramírez
Licenciado en Física

La racionalización de radicales es un proceso matemático que se lleva a cabo cuando se tiene un cociente con radicales o raíces en el denominador. De esta manera se pueden facilitar operaciones matemáticas en donde estén involucrados cocientes con radicales y otro tipo de objetos matemáticos.

Tipos de cocientes con radicales

Es importante mencionar algunos tipos de cocientes con radicales que se pueden racionalizar. Sin embargo, antes de entrar de lleno al proceso de racionalización hay que recordar un par de conceptos importantes. Primero supongamos que tenemos la siguiente expresión: $\sqrt[m]{n}$. Esto es la raíz $m$ del número $n$, es decir, el resultado de dicha operación es un número tal que al elevarlo a la potencia $m$ nos da como resultado el número $n$. La potencia y la raíz son operaciones inversas, de tal manera que: $\sqrt[m]{n^m}=n$.
Por otro lado, vale la pena mencionar que el producto de dos raíces iguales es igual a la raíz del producto, es decir que: $\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p}=\sqrt[m]{np}$. Estas dos propiedades van a ser nuestras mejores aliadas al momento de racionalizar.

El tipo de cociente con radical más común y sencillo con el que nos podemos encontrar es el siguiente:

$\frac{a}{b\sqrt{c}}$

Donde $a$, $b$ y $c$ pueden son cualesquiera números reales. El proceso de racionalización en este caso consiste en encontrar la manera de obtener en el cociente la expresión $\sqrt{c^2}=c$ para deshacernos del radical. En este caso basta con multiplicar por $\sqrt{c}$ tanto el numerador como el denominador:

$\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a}{b\sqrt{c}}\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}=\frac{a\sqrt{c}}{b\sqrt{c}\sqrt{c}}$

Recordando lo que se mencionó anteriormente, sabemos que $\sqrt{c}\sqrt{c}=\sqrt{c^2}=c$. Por lo tanto, obtenemos finalmente que:
$\frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a}{bc}\sqrt{c}$

De esta manera hemos racionalizado la expresión anterior. Esta expresión no es mas que un caso particular de una expresión general que es la siguiente:

$\frac{a}{b\sqrt[n]{c^m}}$

Donde $a$, $b$, $c$ son cualesquiera números reales y $n$, $m$ son potencias positivas. La racionalización de esta expresión se basa en el mismo principio de la anterior, es decir, obtener la expresión $\sqrt[n]{c^n}=c$ en el denominador. Esto podemos lograrlo multiplicando por $\sqrt[n]{c^{n–m}}$ tanto el numerador como el denominador:

$\frac{a}{b\sqrt[n]{c^m}}=\frac{a}{b\sqrt[n]{c^m}}\frac{\sqrt[n]{c^{n–m}}}{\sqrt[n]{c^{n–m}}}=\frac{a\sqrt[n]{c^{n–m}}}{b\sqrt[n]{c^m}\sqrt[n]{c^{n–m}}}$

Podemos desarrollar el producto de radicales en el denominador de la siguiente manera: $\sqrt[n]{c^m}\sqrt[n]{c^{n–m}}=\sqrt[n]{c^m{c}^{n–m}}=\sqrt[n]{c^{m+\left(n–m\right)}}=\sqrt[n]{c^n}=c$. Por lo tanto, el cociente racionalizado queda como:

$\frac{a}{b\sqrt[n]{c^m}}=\frac{a}{bc}\sqrt[n]{c^{n–m}}$

Otro tipo de cociente con radicales que se puede racionalizar es en el que tenemos un binomio con raíces cuadradas en el denominador:

$\frac{a}{b\sqrt{c}\pm d\sqrt{e}}$

Donde $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$son cualesquiera números reales. El símbolo $\pm$ indica que el signo puede ser positivo o negativo. El binomio del denominador puede tener ambas raíces o sólo una, sin embargo, usamos este caso para obtener un resultado más general. La idea central para llevar a cabo el proceso de racionalización en este caso es la misma que en los casos anteriores, sólo que en este caso multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del binomio que se encuentra en el denominador. El conjugado de un binomio es un binomio que tiene los mismos términos, pero cuyo símbolo central es opuesto al binomio original. Por ejemplo, el conjugado del binomio $ux+vy$ es $ux–vy$. Dicho esto, tenemos entonces que:

$\frac{a}{b\sqrt{c}\pm d\sqrt{e}}=\frac{a}{b\sqrt{c}\pm d\sqrt{e}}\frac{b\sqrt{c}\mp d\sqrt{e}}{b\sqrt{c}\mp d\sqrt{e}}=\frac{a\left(b\sqrt{c}\mp d\sqrt{e}\right)}{\left(b\sqrt{c}\pm d\sqrt{e}\right)\left(b\sqrt{c}\mp d\sqrt{e}\right)}$

El símbolo $\mp$ indica que el signo puede ser positivo o negativo, pero tiene que ser contrario al símbolo del denominador para que los binomios sean conjugados. Al desarrollar la multiplicación de binomios del denominador obtenemos que:

$\frac{a}{b\sqrt{c}\pm d\sqrt{e}}=\frac{a\left(b\sqrt{c}\mp d\sqrt{e}\right)}{b^2\sqrt{c^2}+bd\sqrt{ce}–bd\sqrt{ce}–d^2\sqrt{e^2}}$

Finalmente obtenemos que:

$\frac{a}{b\sqrt{c}\pm d\sqrt{e}}=\frac{a}{b^{2}c–d^{2}e}\left(b\sqrt{c}\mp d\sqrt{e}\right)$

Con esto hemos racionalizado el cociente con radical. Estos cocientes con radical son los que generalmente se pueden racionalizar. A continuación, veremos algunos ejemplos de racionalización de radicales.

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de racionalización con cocientes con radicales del tipo que se mencionaron anteriormente. Primero supongamos que tenemos el siguiente cociente:

$\frac{3}{7\sqrt{2}}$

En este caso basta con multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{2}$

$\frac{3}{7\sqrt{2}}=\frac{3}{7\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3}{7\sqrt{2}\sqrt{2}}\sqrt{2}=\frac{3}{7\sqrt{4}}\sqrt{2}=\frac{3}{14}\sqrt{2}$

Ahora, supongamos que tenemos el siguiente cociente con radical:

$\frac{2}{3\sqrt[6]{4^3}}$

En este caso tenemos una raíz sexta de una potencia cúbica. En la sección anterior mencionamos que si tenemos un radical de la forma $\sqrt[n]{c^m}$ en el denominador, podemos racionalizar el cociente multiplicando el numerador y el denominador por $\sqrt[n]{c^{n–m}}$. Comparando esto con el caso aquí presentado podemos darnos cuenta que $n=6$, $c=4$ y $m=3$, por lo tanto, podemos racionalizar el cociente anterior multiplicando el numerador y el denominar por $\sqrt[6]{4^3}$:

$\frac{2}{3\sqrt[6]{4^3}}=\frac{2}{3\sqrt[6]{4^3}}\frac{\sqrt[6]{4^3}}{\sqrt[6]{4^3}}=\frac{2}{3\sqrt[6]{4^3}\sqrt[6]{4^3}}\sqrt[6]{4^3}=\frac{2}{3\sqrt[6]{4^6}}\sqrt[6]{4^3}=\frac{\sqrt[6]{4^3}}{6}$

Finalmente, supongamos que tenemos la siguiente función:

$\frac{1}{x+\sqrt{x}}$

Como se mostró en la sección anterior, para racionalizar este tipo de cocientes con radicales se tiene que multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. En este caso el conjugado del denominador sería $x–\sqrt{x}$. Por lo tanto, la expresión nos quedaría como:

$\frac{1}{x+\sqrt{x}}\frac{x–\sqrt{x}}{x–\sqrt{x}}=\frac{1}{\left(x+\sqrt{x}\right)\left(x–\sqrt{x}\right)}\left(x–\sqrt{x}\right)$

Desarrollando la multiplicación de binomios conjugados del denominador finalmente obtenemos que:

$\frac{1}{x+\sqrt{x}}=\frac{x–\sqrt{x}}{x^2–x}$

Por: Ángel Zamora Ramírez. Licenciado en Física egresado de la Universidad de Colima. Maestro en Ciencias en Ingeniería y Física Biomédicas egresado del CINVESTAV. Amante de la divulgación científica.

Trabajo publicado en: May., 2023.

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