Significado de Errores e Incertidumbre (Exactas) Definición, Error Absoluto, Error Relativo, y Ejemplos

Definición formal

Una parte fundamental de la ciencia es el proceso de medición, pero este siempre lleva aparejada una incertidumbre o margen de duda, que depende de cómo se lo llevó a cabo y cuál fue el instrumento utilizado, por lo que cada vez que se mide, es necesario también indicar el grado de confianza que se tiene en el resultado. El error es la medida o valor numérico de esta incertidumbre.

El problema es que difícilmente se conoce el valor real de una magnitud. Por ejemplo, al medir el espesor de una lámina ¿cuán seguro puede estar el experimentador de que el valor que obtuvo es el verdadero? Se puede establecer un margen, suponiendo que la medida se ha llevado a cabo correctamente, se escribe el valor obtenido, seguido del símbolo ± y el error. De esta manera se tiene un intervalo de valores dentro del cual es seguro que está el valor real.

Para ilustrar la cuestión, si una determinada longitud se expresa como (54.5 ± 0.1) cm, significa que su verdadero valor está en algún lugar entre 54.6 cm y 54.4 cm.

Al hacer una medida, siempre que el procedimiento esté correcto, el error vendría dado por el instrumento mismo que se usó para medir, ya que algunos son más precisos que otros.
Por ejemplo, si se quiere determinar el diámetro de un tornillo se puede usar una regla milimetrada, cuya precisión es de alrededor de 0.5 mm. Pero es mejor aún si se emplea un vernier o un tornillo micrométrico, porque estos instrumentos ofrecen una precisión de centésimas de milímetro.

Otra manera de tener más certeza acerca de una medida es realizarla varias veces y luego calcular su promedio, este se toma como el valor verdadero, mientras que el error es la desviación estándar de las medidas. Más adelante están los detalles de cómo llevar a cabo este procedimiento.

A veces el error no aparece en forma explícita, sino que simplemente se dan los dígitos informativos de la medida. Por ejemplo, cuando se determinó que la longitud de una barra es de 23.4 cm, se están ofreciendo tres dígitos o cifras significativas de información. Este resultado se interpreta así: los dos primeros dígitos comenzando desde la izquierda se conocen con certeza, es decir, es seguro que la barra mide, cuando menos, 23 cm, pero el último dígito a la derecha es incierto. La incerteza de esta medida se toma como 0.1 cm, de modo que el valor real de la barra estaría comprendido entre 23.3 y 23.5 cm.

Apreciación de un instrumento de medida

La apreciación A del instrumento es la medida más pequeña que puede hacerse con él y equivale a su precisión. A menor apreciación, mayor es la precisión y se calcula mediante:

A = \(\frac{Lectura\ mayor\ -\ Lectura\ menor}{N\acute{u}mero\ de\ divisiones}\)

Las lecturas mayor y menor son seleccionadas arbitrariamente de la escala. Por ejemplo, la apreciación en milímetros de una regla milimetrada, tomando una lectura mayor de 1 cm = 10 mm y una lectura menor de 0 mm es:

\(\frac{10mm\ -\ 0mm}{10divisiones}=1mm\)

Si una persona mide la longitud de un objeto con un regla milimetrada, puede suponer que el error de la medida es la apreciación del instrumento:1 mm o bien la mitad de la misma, por lo tanto:

Error =A/2 = 0.5 mm.

El vernier

El vernier, también llamado calibre o pie de rey, es un instrumento usado para medir pequeñas longitudes, como diámetros internos y externos de tubos, por ejemplo. Tiene dos reglas, una fija y una móvil (el nonio), y su apreciación A se calcula como:

A = Apreciación de la regla fija – Apreciación del nonio

Se fabrican vernieres con distintas apreciaciones, por ejemplo, de 0.02 mm y de 0.05 mm.

Error absoluto de una medida

El error absoluto de una medida es la mayor estimación posible que se puede hacer de la incertidumbre. Para expresar correctamente el resultado de una medición se consideran estos casos:

Cuando se conoce el valor real de la magnitud
El error se calcula mediante la desviación, que no es otra cosa que el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor medido:

\(\Delta x=\left| x-{{x}_{i}} \right|= \left| 45.6-45.9cm \right|=\left| -0.3cm \right|=0.3cm\)

\(\Delta x=\left| x-{{x}_{i}} \right|\)

Donde:
. Δx es el error
. x es el valor real
. xi es el valor medido

La medida se reporta como x ± Δx. Ejemplo: si el valor de una determinada longitud es 45.6 cm y al medirla se obtiene 45.9 cm, la desviación es:

\(\Delta x=\left| x-{{x}_{i}} \right|= \left| 45.6-45.9cm \right|=\left| -0.3cm \right|=0.3cm\)

Entonces la longitud se escribe correctamente así: (45.6 ± 0.3) cm.

A través de una sola medida

Al realizar una sola medida, su error sería la apreciación del instrumento o, según algunos autores, la mitad de la misma. En todo caso, el error tiene las mismas unidades que la magnitud medida.

Δx = A

O bien:

Δx = A/2

La medida se reporta como en el caso anterior.

Por ejemplo, supóngase que se midió la longitud de un cuaderno con una regla milimetrada y se obtuvo un resultado de 30.5 cm. Como la apreciación de la regla es de 1 mm = 0.1 cm, la longitud del cuaderno, llamada L, se puede expresar como:

L = (30.5 ± 0.1) cm

Realizando varias medidas de la misma magnitud

En este caso se toma como valor real de la medida al promedio de estas:

.\(X=\frac{\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}}}{n}\).

Donde:
. X es el promedio
. xi es cada de una de las medidas tomadas
. n es el total de medidas realizadas.

Y como error absoluto se escoge la desviación estándar σ, siempre que esta sea mayor que la apreciación del instrumento:

Δx = σ

La fórmula para la desviación estándar es:

\(\sigma =\frac{\sum\limits_{i}{{{\left( {{x}_{i}}-X \right)}^{2}}}}{n}\)

Donde:
. σ es la desviación estándar
. xi es cada de una de las medidas tomadas
. X es el promedio o valor medio del conjunto de datos
. n es el total de los datos.

La desviación estándar tiene las mismas unidades de la medida tomada y esta se reporta como:

X ± σ.

Error relativo

Es el cociente entre el error absoluto y el valor real de la medida, en caso de que se conozca, o bien el valor medido o su promedio, según los casos descritos arriba:

\({{E}_{r}}=\frac{\left| \Delta x \right|}{x}\)

Si el error relativo se multiplica por 100% se tiene el error relativo porcentual. El error relativo es muy útil para comparar la precisión de medidas diferentes: a menor error relativo, más precisa es una medida.

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1

Se realizaron seis medidas de la longitud L de un tornillo con un vernier de apreciación 0.05 mm, obteniendo los siguientes valores en milímetros:

64.12; 64.34; 63.91; 64.12; 63.88; 64.25

El valor de la medida a reportar es el promedio de las seis, que se calcula sumándolas todas y dividiendo el resultado entre 6. Redondeando a dos decimales:

X = 64.10 mm

El error absoluto se toma como la desviación estándar, que se calcula según la fórmula dada anteriormente y resulta ser de:

σ = 0.17≈ 0.20 mm

Como la desviación estándar es mayor que la apreciación del instrumento, se toma como el error absoluto de la medida y se reporta del siguiente modo:

L = (64.10 ± 0.20) mm

El error relativo porcentual es:

\({{E}_{r%}}=\frac{\left| \Delta x \right|}{x}\times 100%=\left( \frac{0.20}{64.10} \right)\times 100%=0.3%\)

Ejemplo 2

En una carpintería, uno de los carpinteros mide una puerta cuya longitud debe ser de 2.50 m de alto, y encuentra que su longitud es 2.48 m. Otro carpintero se encarga de fabricar una mesa 80.0 cm de longitud que al ser medida arrojó 79 cm. ¿Cuál es la medida más precisa entre estas dos?

Respuesta

Para saber cuál es la medida más precisa se calcula el error relativo, y aquella que expresa el menor valor es la más precisa.

Medida 1:

\({{E}_{r}}=\frac{\left| \Delta L \right|}{L}\times 100%=\frac{\left| 2.48-2.50 \right|cm}{2.50}\times 100%=0.8%\)

Medida 2:

\({{E}_{r}}=\frac{\left| \Delta L \right|}{L}\times 100%=\frac{\left| 79-80 \right|cm}{80}\times 100%=1.25%\)

Se concluye que la primera medida es la más precisa de las dos, por ser menor el error relativo.