Significado de Infinito (en Matemáticas) Definición, Zenón (Aquiles y la Tortuga), y Sucesiones

Definición formal

Coloquial o intuitivamente, Infinito refiere a algo que no tiene límites o no termina, y en el campo particular de la matemática discreta, se lo utiliza para caracterizar la cantidad de elementos en un conjunto dado.

Consideremos un conjunto \(X \neq \varnothing\). Y supongamos que podemos escribirlo como X = {x1, x2, x3, …}. Si existe un último elemento en esa lista, decimos que el conjunto es finito, y en caso contrario, que es infinito.

Formalmente, decimos que X es finito si y sólo sí existe una biyección (función 1 a 1) que mapea los elementos de X a un subconjunto acotado por arriba de \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{N}_M\doteq\{n\in\mathbb{N}:n\leq M\}\). Esta definición es equivalente a decir que X tiene M elementos, o que X tiene cardinalidad \(\#(X) = M\).

Si por el contrario, existe una biyección entre X y \(\mathbb{N}\), entonces decimos que X es un conjunto infinito numerable, y \(\#(X) = \infty\). Esto es equivalente a decir que los elementos de X pueden escribirse como una lista que nunca termina, y la palabra «numerable» nos da la pista de que hay otros tipos de infinito.

La paradoja de Zenón: Aquiles y la Tortuga

Intuitivamente, podemos pensar que una bolsa contiene infinitos granos de arroz si habiendo comenzado a sacar los granos de a uno, siempre vamos a poder sacar otro. Es claro que esto no es cierto para ninguna bolsa de arroz en la realidad, sin importar lo grande que sea. Tal vez nos lleve toda la vida y aún así no terminemos, pero sin dudas no hay bolsa de arroz infinita.

La importancia del infinito en las matemáticas empieza en lo conceptual, y quizás haya empezado con Zenón de Elea y la paradoja de Aquiles y la Tortuga, que supone lo siguiente: Ambos personajes juegan una carrera, y puesto que Aquiles es más rápido, le da a la tortuga unos metros de ventaja y ambos comienzan la carrera.

Cuando Aquiles llega a la posición inicial x0 de la tortuga, la tortuga ya avanzó cierta distancia, hasta la posición x1. La carrera sigue, pero cuando Aquiles llega a la posición x1, la tortuga ya se encuentra en la posición x2, un poco más adelante. En general, cuando Aquiles llega a la posición xn, la tortuga ya llegó a la posición x{n+1} y es así que Aquiles nunca puede alcanzar a la tortuga.

Zenón utilizó esta paradoja para demostrar que el movimiento no existe… pero dado que todos sabemos que sí existe, vamos a suponer que hay un problema con todo esto, y resolverlo haciendo uso de la definición de infinito de la sección anterior.

Lo que Zenón no sabía, era sumar infinitos números. Pero nosotros sí, y suponiendo que Aquiles corre el doble de rápido que la tortuga, podemos decir que cuando Aquiles llegó a la posición x0, la tortuga había avanzado una distancia \(x_0/2\). Luego, cuando Aquiles llega a la posición \(x_0+x_0/2\), la tortuga está en la posición \(x_0+x_0/2+x_0/4\), y en general, cuando Aquiles llega a la posición \(x_0+x_0/2+\ldots+x_0/{2^n} = \sum_{k=0}^nx_0/{2^k}\), la tortuga está en la posición \(\sum_{k=0}^{n+1}x_0/{2^k}\). Haciendo la suma infinita, la distancia total recorrida es:

\(
\text{Aquiles:} &\; \sum_{k=0}^{\infty}x_0\frac{1}{2^k} = 2x_0,\\
\text{Tortuga:} &\; \sum_{k=1}^{\infty}x_0\frac{1}{2^k} = x_0.
\)

Los resultados de estas sumas pueden demostrarse utilizando el concepto de límite. Esto implica que si bien estamos sumando infinitas distancias, la suma es finita, y Aquiles alcanza a la tortuga en el punto 2x0, y podemos despreocuparnos respecto a la existencia del movimiento.

Otros infinitos: sucesiones infinitas

El concepto de infinito que utilizamos para la suma anterior es un concepto de infinito numerable. Lo llamamos de esta manera porque la suma se realiza sobre una lista infinita, en este caso \([x_0, \frac{x_0}{2}, \frac{x_0}{4}, \ldots]\). No obstante, hay conjuntos infinitos cuyos elementos no pueden escribirse como una lista.

Pensemos en el conjunto X de sucesiones infinitas de ceros y unos. Cada elemento del conjunto X luce más o menos así: [0, 1, 1, 0, 1, …]. Tratemos ahora de escribirlos en una lista

\(
X = \{
&[0, 1, 1, 0, 1, \ldots],\\
&[0, 1, 0, 0, 1, \ldots],\\
&[0, 0, 1, 0, 1, \ldots],\\
&[1, 0, 1, 0, 1, \ldots],\\
&[1, 1, 1, 0, 1, \ldots],\; \ldots \}
\)

Hasta aquí todo parece en orden, pero si pensamos en el elemento a = [1, 0, 0, 1, 0, …], definido como [1, 1, 1, 1, 1, …]-d, donde d es el elemento de la diagonal

\(
X = \{
&[\textbf{0}, 1, 1, 0, 1, \ldots],\\
&[0, \textbf{1}, 0, 0, 1, \ldots],\\
&[0, 0, \textbf{1}, 0, 1, \ldots],\\
&[1, 0, 1, \textbf{0}, 1, \ldots],\\
&[1, 1, 1, 0, \textbf{1}, \ldots],\; \ldots \}
\)

El nuevo elemento \(a\notin X\), pues es distinto al primer elemento de la lista en la posición 1, distinto al segundo en la posición 2 y en general distinto al n-ésimo en la posición n. Esto demuestra que X es un conjunto infinito no numerable, es un conjunto infinito más infinito que \(\mathbb{N}\).

Otro ejemplo de conjunto infinito no numerable es \(\mathbb{R}\), mientras que \(\mathbb{Z}\) y \(\mathbb{Q}\) son numerables.

Finalmente, uno podría preguntarse, ¿hay un conjunto más infinito que \(\mathbb{R}\)? Y la respuesta es sí, ya que puede demostrarse que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto infinito A tiene una cardinalidad mayor (es más infinito) que A.