Definición de Ecuación
Ingeniera Industrial, MSc en Física, y EdD
1. Afirmación de que dos expresiones matemáticas son iguales (1+1 = 2). Se considera un problema cuando se desconoce uno o más valores y es necesario realizar una serie de operaciones matemáticas buscando la solución de la incógnita.
2. Equiparación entre dos cosas.
Etimología: Por las formas del latín aequatio, aequatiōnis, respecto del verbo aequāre, por ‘equilibrar’, ‘igualar’, sobre el adjetivo dado como aequus, que remite a ‘igual’, ‘justo’.
Cat. gramatical: Sustantivo fem.
En sílabas: e-cua-ción.
Ecuación
Las ecuaciones son expresiones matemáticas que describen el comportamiento de una variable o la relación entre dos o más variables. Las ecuaciones pueden variar en su complejidad y aplicación, y pueden ser tan simples como una ecuación lineal, o pasar a niveles más complejos como una ecuación integro diferencial no lineal.
Las ecuaciones han acompañado a la humanidad desde tiempos muy remotos, ya que existe evidencia que muchas civilizaciones primitivas, ya aplicaban ecuaciones simples para sus diseños y tareas cotidianas. En la actualidad, prácticamente toda formación académica requiere el conocimiento de ecuaciones y sus despejes.
Elementos de una ecuación
No todas las expresiones matemáticas son ecuaciones, ya que estas expresiones deben contener una serie de elementos básicos para ser consideradas ecuaciones. Estos elementos son:
• Igualdad: las ecuaciones no se trata solo de combinar números o variables. Es indispensable que contengan una igualdad que relacione los miembros de ambos lados de la misma.
• Miembros: las igualdades de una ecuación deben siempre debe tener a ambos lados elementos. Lo que se encuentra a cada lado de la igualdad se denominan miembros.
• Términos: se refiere a los elementos de una ecuación separados por un signo de suma o resta. Pueden ser constantes, variables o el producto (o cociente) de una constante por una variable.
• Variable: toda ecuación debe contener al menos una variable, también llamadas en ocasiones incógnitas.
• Constantes: estos son los valores representados por números o letras que pueden aparecer solos en algún término o como coeficientes de una variable. Si una variable aparece sola en un término de una ecuación, se sobreentiende que tiene al número 1 como coeficiente.
La imagen muestra una sencilla ecuación lineal que muestra sus elementos fundamentales: miembros, igualdad, términos, constantes y variables.
Tipos de ecuaciones
La diversidad de ecuaciones que se emplean en el mundo de las ciencias son de muy variada naturaleza y complejidad. Algunas ecuaciones no tienen interpretación específica en el mundo físico, pero muchas otras han sido desarrolladas para tratar de representar una situación, fenómeno o modelo físico. Por esta razón, muchas áreas como la Matemática, Física, Química, medicina, estadística, geografía, Biología, arquitectura, incluso el arte, se puede manifestar a través de ecuaciones o apoyarse en estas para su desarrollo. A continuación, se mencionan algunos tipos de ecuaciones:
Tipos de ecuaciones según sus coeficientes
Un criterio para clasificar las ecuaciones es considerando los coeficientes que la conforman, ya que como se mencionó, las constantes pueden ser representadas por números o letras; es decir, no necesariamente las letras en una ecuación representan variables o incógnitas. Por lo general, las variables se designan con las últimas letras del alfabeto y las constantes con las primeras. Bajo esta óptica, las ecuaciones pueden ser literales o numéricas:
Las ecuaciones literales: son aquellas que contienen por lo menos un coeficiente denotado con una letra, por ejemplo, la ecuación para determinar la energía cinética (Ec) de un cuerpo es:
\({E_c} = \frac{1}{2}m{v^2}\)
Donde m es la masa y v es la velocidad.
Dependiendo del caso, la masa puede ser considerada como una constante y la variable es la velocidad.
Una de las ecuaciones más famosas en la física moderna es la ecuación de energía desarrollada por Albert Einstein, la cual establece la equivalencia entre la masa, la energía de un cuerpo y la velocidad de la luz (c).
Las ecuaciones numéricas: en este tipo de ecuaciones, todas las constantes y coeficientes de los términos son valores numéricos y las letras solo se emplean para las variables. Por ejemplo, la ecuación para determinar el volumen (V) de una esfera:
\(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)
Donde la variable es r que representa el radio de la esfera, y aunque aparece un símbolo para denotar a la constante (pi), este es en realidad un valor numérico, solo que tiene la particularidad de ser un número irracional (con infinitos decimales) y es más simple representarlo con la letra griega (pi).
Tipos de ecuaciones según las funciones que contienen
Ecuaciones polinómicas: este tipo de ecuaciones se caracteriza por la presencia de polinomios en sus términos, es decir, los términos los conforman potencias que contienen coeficientes, bases y exponentes. El exponente de mayor valor determina el grado del polinomio. Una de las ecuaciones polinómicas más simples es la de la recta (y = mx + b).
Ejemplo de ecuación polinómica: \(8{x^6} – \frac{1}{5}{x^3} = 9{x^7} + 21\)
Ecuaciones con radicales: estas ecuaciones deben su nombre a que tienen a la variable dentro de un signo de una raíz. Para su análisis y desarrollo, es importante considerar las propiedades de las raíces y de las potencias, considerando que las raíces son exponentes fraccionarios.
Ejemplo de ecuaciones con radicales: \(4 – \sqrt {5{x^6} – 13} = 17 + 11{x^5}\)
Ecuaciones trigonométricas: Como su nombre lo indica, estas ecuaciones están conformadas por funciones trigonométricas. Son muy utilizadas en el campo de la ingeniería eléctrica y la física para describir fenómenos ondulatorios.
Ejemplo de ecuaciones trigonométricas: \(y = 36se{c^2}\theta – 14tan\theta \)
Ecuaciones diferenciales: este tipo de ecuaciones contiene a las derivadas de una función, así como a la propia función o sus variables. Estas ecuaciones son de gran utilidad para describir fenómenos transitorios o que reflejan la variación de una variable respecto a otra.
Ejemplo de ecuaciones diferenciales: \({e^x}\frac{{{d^2}y}}{{dx}} – 2{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^4} + xy = 0\)
Ecuaciones integrales: las ecuaciones de este tipo contienen funciones dentro de un operador de integrales, así como la especificación de los correspondientes límites de integración.
Ejemplo de ecuación integral: \(M = \mathop \smallint \nolimits_{{x_1}}^{{x_2}} Vdx\)
En ocasiones, es común encontrar ecuaciones que resultan de la combinación de dos o más de las funciones descritas, incluso con otras más complejas.
La ecuación de Dirac es considerada una de las expresiones matemáticas más hermosas en la Física. Si bien su forma es bastante simple, su desarrollo y alcance posee grandes implicaciones.
Consideraciones para resolver ecuaciones de primer grado
Si bien cada tipo de ecuación tiene un método o procedimiento particular para abordarla y resolverla, las ecuaciones lineales representan el comienzo para comprender las reglas y jerarquías básicas durante un despeje. A continuación, se describen algunos pasos generales para resolver este tipo de ecuaciones:
1. En caso de que existan paréntesis, hay que eliminar estos signos resolviendo las operaciones mediante la propiedad distributiva. Los paréntesis se eliminan desde los más internos a los más externos. Por ejemplo:
\(3\left( {4x – 2\left( {8 + 5x} \right) + 7} \right) = 9\)
\(3\left( {4x – 16 – 10x + 7} \right) = 9\)
\(12x – 48 – 30x + 21 = 9\)
2. En caso de que se trate de una función racional o se tengan denominadores, se deben tratar de eliminar. Se puede multiplicar a ambos miembros de la igualdad por la expresión del denominador para simplificarlo.
3. Agrupar los términos que contienen la variable de un lado de la igualdad y del otro lado los que no tienen variables. Continuando con el ejemplo anterior:
\(12x – 30x = 9 – 21 + 48\)
4. Efectuar las operaciones entre términos semejantes a fin de obtener un solo término con la variable:
\( – 18x = 36\)
5. Despejar la incógnita a través de la regla del producto:
\(x = – \frac{{36}}{{18}}\)
6. En caso de que el resultado obtenido sea una fracción, de ser posible, simplificar esta expresión:
\(x = – 2\)
Art. actualizado: Dic. 2022; sobre el original de mayo, 2009.
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